Vettori: operazioni e componenti

Molte grandezze fisiche — posizione, velocità, accelerazione, forza — non sono semplici numeri, ma possiedono anche una direzione: sono vettori. Un vettore $\vec{v}$ è caratterizzato da tre elementi:

• modulo $|\vec{v}|$, un numero positivo che ne misura l’intensità;
• direzione, la retta su cui giace;
• verso, uno dei due orientamenti possibili lungo quella retta.

Nel piano, un vettore si rappresenta comodamente come coppia di componenti cartesiane $\vec{v} = (v_x,\, v_y)$, cioè le proiezioni del vettore lungo gli assi $x$ e $y$. Componenti e modulo-direzione-verso sono due descrizioni equivalenti dello stesso oggetto: si passa dall’una all’altra con la trigonometria.

Formula chiave — Modulo e componenti

Dato l’angolo $\theta$ che il vettore forma con l’asse $x$: $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \qquad v_x = |\vec{v}|\cos\theta \qquad v_y = |\vec{v}|\sin\theta \qquad \theta = \arctan\!\frac{v_y}{v_x}$

Il grande vantaggio delle componenti è che le operazioni tra vettori si eseguono componente per componente, riducendosi a semplici operazioni tra numeri:

• Somma: $(a_x,\, a_y) + (b_x,\, b_y) = (a_x + b_x,\; a_y + b_y)$
• Moltiplicazione per uno scalare: $k\,(v_x,\, v_y) = (k v_x,\; k v_y)$
• Opposto: $-\vec{v} = (-v_x,\; -v_y)$

In pratica, per sommare due vettori conviene quasi sempre scomporli nelle loro componenti, sommare separatamente le $x$ e le $y$, e ricomporre il risultato in modulo e direzione con le formule chiave. Questo metodo — detto delle componenti cartesiane — evita di ragionare graficamente con la regola del parallelogramma e si presta bene ai calcoli, specie quando i vettori in gioco sono più di due.

Collegamenti

Argomenti: Vettori Concetti: Componenti di un vettore Competenze: Scomposizione vettoriale Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane

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