Esercizio svolto — Palla tra due molle parallele

Testo

Una palla di massa $m = 20\;\text{kg}$ è schiacciata tra due pareti verticali, poste a $10\;\text{m}$ di distanza, e collegata a ognuna da una molla orizzontale. Le molle hanno lunghezza a riposo nulla, $\ell_0^{(1)} = \ell_0^{(2)} = 0$ (sono elastici ideali a “riposo in zero”), con costanti $k_1 = 100\;\text{N/m}$ e $k_2 = 200\;\text{N/m}$. A che distanza $\ell_1$ dalla parete sinistra si trova la palla in equilibrio?

Soluzione

Passo 1 — Forze sulla palla. Sia $\ell_1$ la lunghezza della molla sinistra e $\ell_2$ quella di destra. Con lunghezza a riposo nulla, le forze orizzontali sono $F_1 = k_1\ell_1$ (verso sinistra) e $F_2 = k_2\ell_2$ (verso destra).

Passo 2 — Equilibrio traslazionale. La somma delle forze orizzontali deve annullarsi:

$-k_1\ell_1 + k_2\ell_2 = 0 \;\Rightarrow\; 200\,\ell_2 = 100\,\ell_1 \;\Rightarrow\; \ell_1 = 2\,\ell_2$

Passo 3 — L’equazione geometrica. Una sola equazione in due incognite non basta: la terza relazione viene dalla geometria del disegno, poiché la somma delle lunghezze delle due molle è la distanza tra i muri:

$\ell_1 + \ell_2 = 10\;\text{m}$

Passo 4 — Risoluzione. Sostituendo $\ell_1 = 2\ell_2$:

$3\,\ell_2 = 10 \;\Rightarrow\; \ell_2 = 3{,}33\;\text{m}, \qquad \ell_1 = 2\ell_2 = 6{,}66\;\text{m}$

La distanza cercata dalla parete sinistra è quindi

$\ev{\ell_1 \approx 6{,}66\;\text{m}}$

Nota didattica: era impossibile risolvere il problema senza il disegno, che fornisce il vincolo geometrico.

Collegamenti

Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Forza elastica e legge di Hooke Competenze: Scomposizione vettoriale Oggetti: Molla