Esercizio svolto — Trave con due carichi sospesa a due funi

Testo

Una trave rigida lunga $17\;\text{m}$ e di massa $10\;\text{kg}$ è appesa orizzontalmente tramite due funi verticali $R_1$ (a sinistra) e $R_2$ (a destra). Sulla trave poggia una massa di $20\;\text{kg}$ a $3\;\text{m}$ dalla fune sinistra, e un’altra massa di $10\;\text{kg}$ all’estremità destra. Trovare le tensioni $R_1$ e $R_2$.

Soluzione

Passo 1 — I pesi in gioco. Peso della massa da $20\;\text{kg}$: $P_A = 20\cdot 9{,}81 = 196{,}2\;\text{N}$; peso della trave e della massa da $10\;\text{kg}$: $98{,}1\;\text{N}$ ciascuno. Il peso della trave è applicato al suo centro, a $8{,}5\;\text{m}$ dall’estremità sinistra.

Passo 2 — Equilibrio traslazionale (asse $y$ verticale):

$R_1 + R_2 - 196{,}2 - 98{,}1 - 98{,}1 = 0 \;\Rightarrow\; R_1 + R_2 = 392{,}4\;\text{N}$

Passo 3 — Equilibrio rotazionale (polo alla fune sinistra). Scegliendo il polo all’attacco della fune sinistra, $R_1$ ha braccio nullo e sparisce:

$-196{,}2\cdot 3 - 98{,}1\cdot 8{,}5 - 98{,}1\cdot 17 + R_2\cdot 17 = 0$

Passo 4 — Calcolo di $R_2$ e $R_1$.

$R_2 = \frac{588{,}6 + 833{,}85 + 1667{,}7}{17} \approx 181{,}8\;\text{N}$

$R_1 = 392{,}4 - 181{,}8 \approx 210{,}6\;\text{N}$

$\ev{R_1 \approx 210{,}6\;\text{N}, \qquad R_2 \approx 181{,}8\;\text{N}}$

Si noti come il carico posto più vicino alla sinistra sia sopportato principalmente da $R_1$, coerentemente con l’intuizione.

Collegamenti

Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Momento di una forza · Tensione · Forza peso Competenze: Bilancio dei momenti · Scelta del polo Oggetti: Corpo rigido · Asta