Problema — Quadro a due fili

Testo

Un quadro di massa $m = 8{,}0\;\text{kg}$ è appeso al muro tramite due fili simmetrici che formano ciascuno un angolo di $30^\circ$ con il soffitto. Trova la tensione in ciascun filo. (Usa $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$.)

Soluzione

Passo 1 — Forze in gioco. Sul quadro agiscono il peso $\vv{P}$ verso il basso e le due tensioni $\vv{T}_1$, $\vv{T}_2$ lungo i fili. Per la simmetria del sistema le due tensioni hanno lo stesso modulo: $T_1 = T_2 = T$.

Passo 2 — Scomposizione. Ciascun filo forma $30^\circ$ con il soffitto (orizzontale), quindi $30^\circ$ con l’orizzontale. La componente verticale di ogni tensione è dunque $T\sin 30^\circ$; le componenti orizzontali sono uguali e opposte e si annullano.

Passo 3 — Equilibrio verticale. La somma delle componenti verticali delle due tensioni bilancia il peso:

$2\,T\sin 30^\circ = mg$

Passo 4 — Tensione. Ricavando $T$ con $\sin 30^\circ = 0{,}5$:

$T = \frac{mg}{2\sin 30^\circ} = \frac{8{,}0\cdot 9{,}8}{2\cdot 0{,}5} = \frac{78{,}4}{1{,}0} = 78{,}4\;\text{N}$

Risultato.

$\ev{T_1 = T_2 \approx 78\;\text{N}}$

Nota sulla chiave di correzione $T \approx 49\;\text{N}$) non è coerente con l'enunciato. Con l'angolo di $30^\circ$ misurato rispetto al soffitto, la componente verticale utile di ciascuna tensione è $T\sin 30^\circ = 0{,}5\,T$, per cui $2\cdot 0{,}5\,T = mg$ dà $T = mg = 78{,}4\;\text{N}$. Fili poco inclinati sull'orizzontale devono infatti "tirare forte" per sostenere il peso. Il valore corretto è $\approx 78\;\text{N}$: la chiave $49\;\text{N}$ è un refuso.

La risposta stampata a margine (

Collegamenti

Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Tensione · Forza peso Competenze: Scomposizione vettoriale Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane Oggetti: Fune ideale