Problema — Martello e piuma sottovuoto

Testo

Un martello e una piuma sono appoggiati su due piatti di una bilancia a bracci uguali, in equilibrio nell’aria. Se ora tutto il sistema viene posto sotto una campana di vuoto, l’equilibrio si mantiene? Discuti in termini di peso, spinta di Archimede e massa.

Soluzione

Passo 1 — L’equilibrio nell’aria. Su ciascun piatto agiscono il peso $P = mg$ verso il basso e la spinta di Archimede dell’aria $F_A = \rho_\text{aria}\,V\,g$ verso l’alto, dove $V$ è il volume dell’oggetto. La bilancia confronta le forze effettive verso il basso, cioè i pesi apparenti:

$P_\text{app} = mg - \rho_\text{aria}\,V\,g$

All’equilibrio i due piatti si bilanciano: $m_\text{mart}\,g - \rho_\text{aria}V_\text{mart}\,g = m_\text{piuma}\,g - \rho_\text{aria}V_\text{piuma}\,g$.

Passo 2 — Il ruolo dei volumi. La piuma, molto meno densa del martello, ha a parità di massa un volume $V_\text{piuma}$ enormemente maggiore di $V_\text{mart}$. Quindi la piuma riceve una spinta di Archimede molto più grande. Perché i piatti siano in equilibrio nell’aria, il martello deve avere una massa un po’ maggiore di quella della piuma, così da compensare la minore spinta che riceve:

$m_\text{mart} - m_\text{piuma} = \rho_\text{aria}\,(V_\text{mart} - V_\text{piuma}) < 0 \;\Rightarrow\; m_\text{mart} > m_\text{piuma}$

Passo 3 — Sotto vuoto. Togliendo l’aria, $\rho_\text{aria} \to 0$: entrambe le spinte di Archimede spariscono. Ora la bilancia confronta i pesi veri $mg$. Poiché $m_\text{mart} > m_\text{piuma}$, il piatto del martello scende:

$P_\text{mart} = m_\text{mart}\,g > m_\text{piuma}\,g = P_\text{piuma}$

Risultato.

$\ev{\text{No: nel vuoto la bilancia pende dalla parte del martello}}$

Discussione. La bilancia in aria non confronta le masse ma i pesi apparenti; l’uguaglianza dei pesi apparenti nasconde masse diverse, perché la piuma “voluminosa” era sostenuta in parte dalla spinta dell’aria. Rimossa l’aria, viene a mancare quel piccolo aiuto proprio dove era maggiore (sulla piuma), e prevale il martello, che è realmente più massiccio.

Collegamenti

Argomenti: Fluidostatica e fluidodinamica Concetti: Principio di Archimede · Forza peso