Problema — La bilancia digitale

Testo

Una bilancia da cucina mostra "$157\;\text{g}$" qualunque oggetto vi poniate sopra, nei limiti del suo range. Come potete stimare la sensibilità del display senza smontare la bilancia, usando solo oggetti di massa nota (monete, pacchetti di pasta)? Discuti una procedura operativa e le relative cifre significative.

Soluzione

Passo 1 — Cosa si vuole misurare. La sensibilità (o risoluzione) del display è la più piccola variazione di massa che produce un cambiamento della cifra mostrata. Se la bilancia mostra numeri interi di grammi, la risoluzione nominale è $1\;\text{g}$, ma va verificata sperimentalmente: potrebbe reagire solo a scatti di $2\;\text{g}$ o $5\;\text{g}$.

Passo 2 — Oggetti di massa nota. Servono masse piccole e note. Le monete euro sono ottime perché standardizzate: ad esempio la moneta da $1$ centesimo pesa $2{,}30\;\text{g}$, quella da $2$ centesimi $3{,}06\;\text{g}$, quella da $5$ centesimi $3{,}92\;\text{g}$. Un pacchetto di pasta sigillato riporta la massa nominale ($500\;\text{g}$).

Passo 3 — Procedura operativa.

1. Porre un oggetto di base (una tara) sul piatto e annotare la lettura $L_0$.
2. Aggiungere una alla volta monete di massa nota crescente, registrando dopo ogni aggiunta la lettura e la massa totale realmente aggiunta.
3. Individuare la più piccola massa aggiunta che fa cambiare la cifra sul display: quella variazione è dell’ordine della sensibilità.
4. Ripetere l’operazione partendo da tare diverse, per verificare che il passo di lettura sia costante lungo il range (linearità).

Passo 4 — Stima quantitativa. Se aggiungendo una moneta da $2{,}30\;\text{g}$ la lettura non cambia, ma aggiungendone due ($4{,}60\;\text{g}$) la lettura sale di una unità, la sensibilità è compresa fra $2{,}3\;\text{g}$ e $4{,}6\;\text{g}$: si conclude che il display “scatta” a passi di circa $\ev{\sim 5\;\text{g}}$. Restringendo con monete di taglio intermedio si affina il limite.

Passo 5 — Cifre significative. Se la risoluzione è $\sim 5\;\text{g}$, non ha senso attribuire alla misura più di tre cifre significative attorno a $150\;\text{g}$: scrivere "$157\;\text{g}$" suggerisce falsamente una precisione al grammo. Coerentemente il risultato andrebbe espresso come $(157 \pm 5)\;\text{g}$, cioè con incertezza pari a circa metà del passo di lettura. La sensibilità del display fissa dunque il numero di cifre significative fisicamente giustificate.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Cifre significative e incertezza Competenze: Uso delle cifre significative