Problema — Quanti capelli ha una testa

Testo

Stima l’ordine di grandezza del numero di capelli su una testa adulta sana, ragionando sulla densità superficiale di capelli (pochi per $\text{mm}^2$) e sull’area del cuoio capelluto. Confronta il tuo risultato con il valore tabulato ($\sim 10^5$ capelli totali) e indica le ipotesi più critiche.

Soluzione

Passo 1 — Densità superficiale. L’enunciato suggerisce “pochi capelli per $\text{mm}^2$”. Assumiamo prudentemente circa $2\;\text{capelli/mm}^2$. Poiché $1\;\text{cm}^2 = 100\;\text{mm}^2$:

$\sigma \approx 2\;\frac{\text{capelli}}{\text{mm}^2} = 2\cdot 100 = 200\;\frac{\text{capelli}}{\text{cm}^2}$

Passo 2 — Area del cuoio capelluto. Approssimiamo la zona pelosa a una calotta della testa. Con un raggio efficace di $\sim 8\;\text{cm}$ si ottiene un’area dell’ordine di:

$A \approx 600{-}700\;\text{cm}^2 \approx 6\cdot 10^2\;\text{cm}^2$

Passo 3 — Numero totale.

$N = \sigma\,A \approx 200 \cdot 6\cdot 10^2 = 1{,}2\cdot 10^5 \approx 10^5$

Risultato.

$\ev{N \sim 10^5\;\text{capelli}}$

Passo 4 — Confronto e ipotesi critiche. Il valore tabulato ($\sim 10^5$ capelli) coincide con la stima come ordine di grandezza. Le ipotesi più critiche sono:

• la densità $\sigma$, che varia molto fra individui e zone del capo (più alta in sommità, più rada verso i bordi): un fattore $2$–$3$ di incertezza;
• l’area $A$, che dipende dall’attaccatura e dall’estensione della zona pelosa.

Poiché il risultato è il prodotto di due fattori noti ciascuno entro un fattore $\sim 2$, l’esponente $10^5$ è robusto anche se la cifra iniziale (fra $0{,}5$ e $2\cdot 10^5$) è incerta. È il tipico esito di una stima di Fermi: la potenza di $10$ è affidabile, il coefficiente no.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Notazione scientifica e ordini di grandezza Competenze: Stime di Fermi