Problema — Riso da cucina, modo Fermi

Testo

Riso da cucina, modo Fermi. Stima quanti chicchi di riso contiene un sacchetto da $1\;\text{kg}$. Procedi così: (a) stima la massa di un singolo chicco usando un righello (lunghezza tipica $\sim 5\;\text{mm}$, sezione $\sim 1\;\text{mm}^2$) e la densità dell’amido ($\rho\approx 1{,}5\;\text{g/cm}^3$); (b) dividi $1\;\text{kg}$ per la massa di un chicco. Discuti l’incertezza percentuale.

Soluzione

Passo 1 — Volume di un chicco (a). Approssimiamo il chicco a un cilindretto di lunghezza $\ell\approx 5\;\text{mm}$ e sezione $A\approx 1\;\text{mm}^2$. Il volume è

$V \approx \ell\cdot A = 5\;\text{mm}\cdot 1\;\text{mm}^2 = 5\;\text{mm}^3 = 5\cdot 10^{-9}\;\text{m}^3$

(ricordando che $1\;\text{mm}^3 = (10^{-3}\;\text{m})^3 = 10^{-9}\;\text{m}^3$).

Passo 2 — Massa di un chicco. Con la densità dell’amido $\rho\approx 1{,}5\;\text{g/cm}^3 = 1{,}5\cdot 10^3\;\text{kg/m}^3$:

$m = \rho\, V = 1{,}5\cdot 10^3\cdot 5\cdot 10^{-9} = 7{,}5\cdot 10^{-6}\;\text{kg} = 7{,}5\;\text{mg}$

Passo 3 — Numero di chicchi (b). Dividiamo la massa del sacchetto per la massa di un chicco:

$N = \frac{1\;\text{kg}}{7{,}5\cdot 10^{-6}\;\text{kg}} = 1{,}3\cdot 10^{5}$

Passo 4 — Ordine di grandezza. Trattandosi di una stima di Fermi, non ha senso trattenere le cifre: concludiamo

$\ev{N \sim 10^{5}\text{–}10^{6}\ \text{chicchi}}$

Incertezza percentuale. Ogni dimensione lineare è nota “a occhio” con un errore relativo del $20\text{–}30\%$. Il volume è un prodotto di tre lunghezze (o di lunghezza per area), quindi l’errore relativo si somma: $\sim 3\times 25\% \approx 75\%$. In pratica $N$ è affidabile solo entro un fattore $2\text{–}3$: da qui la larghezza di un intero ordine di grandezza. Il valore tabulato per il riso reale è dell’ordine di $10^4\text{–}10^5$ chicchi/kg (i chicchi reali sono un po’ più pesanti dell’amido pieno perché più grandi), coerente con questa stima entro l’inevitabile fattore di una stima Fermi.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Notazione scientifica e ordini di grandezza Competenze: Stime di Fermi · Conversione di unità