Problema — Analisi dimensionale del pendolo

Testo

Analisi dimensionale del pendolo. Galileo congetturò che il periodo $T$ di un pendolo dipendesse dalla massa $m$, dalla lunghezza $L$ e dall’accelerazione di gravità $g$. (a) Mostra, per analisi dimensionale, che l’unica combinazione possibile con dimensioni di tempo è $T = k\sqrt{L/g}$, dove $k$ è un numero puro. (b) Spiega perché la massa non può comparire. (c) Sapendo che il valore sperimentale di $k$ vale $2\pi$ per piccole oscillazioni, calcola $T$ per $L = 1\;\text{m}$.

Soluzione

Passo 1 — Impostare la forma generale (a). Supponiamo che il periodo sia un prodotto di potenze delle grandezze in gioco:

$T = k\, m^{\alpha}\, L^{\beta}\, g^{\gamma}$

con $k$ numero puro (adimensionale). Le dimensioni delle grandezze sono $[m]=\text{M}$, $[L]=\text{L}$, $[g]=\text{L}\,\text{T}^{-2}$, mentre $[T]=\text{T}$.

Passo 2 — Uguagliare le dimensioni. Imponiamo che il secondo membro abbia le dimensioni di un tempo:

$\text{T} = \text{M}^{\alpha}\,\text{L}^{\beta}\,(\text{L}\,\text{T}^{-2})^{\gamma} = \text{M}^{\alpha}\,\text{L}^{\beta+\gamma}\,\text{T}^{-2\gamma}$

Confrontando gli esponenti di ciascuna dimensione fondamentale:

$\begin{aligned} \text{M}:\ &\alpha = 0 \\ \text{T}:\ &-2\gamma = 1 \ \Rightarrow\ \gamma = -\tfrac{1}{2} \\ \text{L}:\ &\beta+\gamma = 0 \ \Rightarrow\ \beta = +\tfrac{1}{2} \end{aligned}$

Passo 3 — Ricostruire la formula. Sostituendo $\alpha=0$, $\beta=\tfrac12$, $\gamma=-\tfrac12$:

$T = k\, L^{1/2}\, g^{-1/2} = k\sqrt{\frac{L}{g}}$

che è proprio la forma richiesta.

Passo 4 — Perché la massa non compare (b). L’equazione per l’esponente di M impone $\alpha=0$: la massa è l’unica grandezza a contenere la dimensione M, e nessuna combinazione di $L$ e $g$ può cancellarla. Un termine $m^{\alpha}$ con $\alpha\neq 0$ lascerebbe una M “orfana” a secondo membro, incompatibile con un tempo puro. Dal punto di vista fisico questo riflette il fatto che nel moto sotto gravità la massa inerziale e quella gravitazionale si elidono: tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla massa.

Passo 5 — Calcolo numerico (c). Con $k=2\pi$, $L=1\;\text{m}$ e $g=9{,}81\;\text{m/s}^2$:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}81}} = 2\pi\cdot 0{,}319\;\text{s} \approx 2{,}0\;\text{s}$

$\ev{T = 2\pi\sqrt{L/g} \approx 2{,}0\;\text{s}}$

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Analisi dimensionale Oggetti: Pendolo semplice