Problema — Cifre significative al supermercato

Testo

Cifre significative al supermercato. Sull’etichetta di una confezione di pasta leggi “peso netto $500\;\text{g}\,\pm\,1\%$”. (a) Quante cifre significative ha il valore? (b) Tra quali estremi può oscillare la massa reale? (c) Se compri 6 confezioni, qual è l’incertezza assoluta sulla massa totale? E quella relativa? (d) Perché l’incertezza relativa cala?

Soluzione

Passo 1 — Cifre significative (a). Il valore $500$ letto con un’incertezza del $1\%$ ($\approx 5\;\text{g}$) ha la cifra delle unità già incerta: sono quindi significative le cifre $5$, $0$, $0$, cioè

$\ev{3\ \text{cifre significative}}$

Passo 2 — Intervallo di oscillazione (b). L’incertezza assoluta è $\Delta m = 1\%\cdot 500\;\text{g} = 5\;\text{g}$. La massa reale può quindi variare tra

$\ev{m \in [\,500-5;\ 500+5\,] = [\,495;\ 505\,]\;\text{g}}$

Passo 3 — 6 confezioni, incertezza assoluta (c). La massa nominale totale è $M = 6\cdot 500 = 3000\;\text{g}$. Le incertezze delle sei confezioni sono indipendenti e casuali (una confezione può essere in eccesso, un’altra in difetto): non si sommano linearmente ma in quadratura:

$\Delta M = \sqrt{\Delta m_1^2 + \dots + \Delta m_6^2} = \sqrt{6}\cdot 5\;\text{g} = 12{,}25\;\text{g} \approx 12{,}2\;\text{g}$

L’incertezza relativa sul totale è

$\frac{\Delta M}{M} = \frac{12{,}2}{3000} \approx 0{,}41\%$

(Se invece le confezioni fossero tutte sbagliate nello stesso verso — errore sistematico — l’incertezza si sommerebbe linearmente, $6\cdot 5 = 30\;\text{g}$, cioè di nuovo l’$1\%$.)

Passo 4 — Perché l’incertezza relativa cala (d). Con $N$ confezioni identiche, l’incertezza assoluta cresce come $\sqrt{N}$ ($\Delta M = \sqrt{N}\,\Delta m$) mentre la massa totale cresce come $N$ ($M = N m$). Il rapporto quindi decresce:

$\frac{\Delta M}{M} = \frac{\sqrt{N}\,\Delta m}{N m} = \frac{1}{\sqrt{N}}\cdot\frac{\Delta m}{m}$

$\ev{\dfrac{\Delta M}{M} = \dfrac{1}{\sqrt{N}}\,\dfrac{\Delta m}{m}}$

È lo stesso motivo per cui mediare più misure riduce l’errore casuale di un fattore $1/\sqrt{N}$: gli errori indipendenti in parte si compensano.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Cifre significative e incertezza Competenze: Uso delle cifre significative · Propagazione degli errori