Problema — La massa dell'atmosfera

Testo

La massa dell’atmosfera. La pressione atmosferica al livello del mare è $p_0\approx 10^5\;\text{Pa}$ e il raggio terrestre è $R\approx 6{,}4\times 10^6\;\text{m}$. (a) Argomenta perché $p_0$ è proprio il peso di tutta l’aria sopra di te per unità di superficie. (b) Stima la massa totale dell’atmosfera. (c) Confronta con la massa della Terra ($\sim 6\times 10^{24}\;\text{kg}$) e discuti il risultato.

Soluzione

Passo 1 — Significato della pressione (a). Considera una colonna d’aria verticale di sezione $A$ che si estende dal suolo fino ai confini dell’atmosfera. Quella colonna è in equilibrio: la sua base spinge sul terreno con una forza pari al proprio peso $W = m_{\text{col}}\,g$. La pressione al suolo è forza su area,

$p_0 = \frac{W}{A} = \frac{m_{\text{col}}\,g}{A}$

cioè esattamente il peso dell’aria sovrastante per unità di superficie. Questo vale per ogni punto della superficie terrestre.

Passo 2 — Dalla pressione alla massa totale (b). Sommando su tutta la superficie terrestre $S = 4\pi R^2$, il peso totale dell’atmosfera è $W_{\text{tot}} = p_0\, S$, e quindi la massa è

$M = \frac{W_{\text{tot}}}{g} = \frac{p_0\, S}{g} = \frac{p_0\,\cdot 4\pi R^2}{g}$

Passo 3 — Calcolo numerico. Con $p_0 = 10^5\;\text{Pa}$, $R = 6{,}4\cdot 10^6\;\text{m}$, $g = 9{,}81\;\text{m/s}^2$:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi\,(6{,}4\cdot 10^6)^2 = 5{,}1\cdot 10^{14}\;\text{m}^2$

$M = \frac{10^5\cdot 5{,}1\cdot 10^{14}}{9{,}81} = 5{,}2\cdot 10^{18}\;\text{kg}$

$\ev{M = \dfrac{p_0\,4\pi R^2}{g} \approx 5\cdot 10^{18}\;\text{kg}}$

Passo 4 — Confronto con la Terra (c). Rapportando alla massa terrestre $M_{\oplus}\approx 6\cdot 10^{24}\;\text{kg}$:

$\frac{M}{M_{\oplus}} \approx \frac{5\cdot 10^{18}}{6\cdot 10^{24}} \approx 10^{-6}$

L’atmosfera pesa dunque circa un milionesimo della massa della Terra: una pellicola sottilissima confrontata con la massa del pianeta solido, eppure abbastanza da esercitare al suolo la pressione di $10^5\;\text{Pa}$ (circa $10\;\text{tonnellate}$ per metro quadrato).

Errata corrige (chiave del libro) $\sim 10^{15}\;\text{kg}$: è sbagliata di circa tre ordini di grandezza. Il calcolo corretto dà $M = p_0\,4\pi R^2/g \approx 5\cdot 10^{18}\;\text{kg}$ (valore reale $\approx 5{,}1\cdot 10^{18}\;\text{kg}$). Il refuso $10^{15}$ va corretto in $\sim 5\cdot 10^{18}\;\text{kg}$.

La chiave del libro riporta

Collegamenti

Argomenti: Fluidostatica e fluidodinamica Concetti: Pressione Competenze: Stime di Fermi