Problema — Vero o falso (analisi dimensionale)

Testo

Vero o falso (analisi dimensionale). (a) $[F]=[m\,a]=\text{kg}\cdot\text{m}\cdot\text{s}^{-2}$. (b) Una formula dimensionalmente corretta è necessariamente fisicamente corretta. (c) Un’equazione $E = mc^2 + mv$ è dimensionalmente corretta. (d) Energia e lavoro hanno le stesse dimensioni.

Soluzione

(a) VERO. Per il secondo principio $F = m\,a$, quindi

$[F] = [m][a] = \text{kg}\cdot\text{m}\,\text{s}^{-2} = \text{N}$

È proprio la definizione del newton.

(b) FALSO. L’analisi dimensionale è una condizione necessaria ma non sufficiente. Una formula può avere le dimensioni giuste ed essere comunque sbagliata: sbaglia un fattore numerico puro (es. un $2$ o un $\pi$ mancante), oppure combina le grandezze giuste nel modo fisicamente errato. Es. $E = \tfrac12 mv^2$ e $E = 5\,mv^2$ sono entrambe dimensionalmente corrette, ma solo la prima è fisica.

(c) FALSO. Confrontiamo le dimensioni dei due addendi a secondo membro:

$[mc^2] = \text{kg}\cdot(\text{m}\,\text{s}^{-1})^2 = \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-2} \ (\text{energia}), \qquad [mv] = \text{kg}\cdot\text{m}\,\text{s}^{-1} \ (\text{quantità di moto})$

I due termini hanno dimensioni diverse: non si possono sommare, quindi l’equazione è dimensionalmente scorretta.

(d) VERO. Il lavoro è forza per spostamento, $W = F\,s$, e l’energia si misura nella stessa unità:

$[W] = [F][s] = \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\cdot\text{m} = \text{kg}\,\text{m}^2\,\text{s}^{-2} = \text{J} = [E]$

$\ev{\text{(a) V}\quad\text{(b) F}\quad\text{(c) F}\quad\text{(d) V}}$

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Analisi dimensionale