Problema — Linearizzare il pendolo

Testo

Linearizzare il pendolo. Disponi di una serie di misure $(L_i, T_i)$ per il pendolo. Per verificare che $T \propto \sqrt{L}$ hai due opzioni: graficare $T$ vs $L$ oppure $T^2$ vs $L$. (a) Quale delle due deve dare una retta passante per l’origine? (b) Disegna i due grafici qualitativi per dati ideali. (c) Qual è il vantaggio di linearizzare prima di fare la regressione?

Soluzione

Passo 1 — Individuare la relazione lineare (a). La legge del pendolo è $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. Elevando al quadrato entrambi i membri:

$T^2 = \frac{4\pi^2}{g}\,L$

Questa è della forma $y = m\,x$ con $y = T^2$, $x = L$ e pendenza costante $m = 4\pi^2/g$. Dunque è il grafico $T^2$ vs $L$ a dare una retta passante per l’origine, non $T$ vs $L$:

$\ev{\text{lineare in } L \text{ è } T^2,\ \text{non } T}$

Passo 2 — Grafici qualitativi (b). Per dati ideali (vedi figura):

• $T$ vs $L$: una curva con concavità verso il basso (una radice quadrata), tangente verticale all’origine.
• $T^2$ vs $L$: una retta che parte dall’origine, con pendenza $4\pi^2/g$.

Passo 3 — Vantaggio della linearizzazione (c). Portare i dati su una retta prima della regressione conviene per più motivi:

1. Verifica visiva immediata: l’occhio riconosce subito se dei punti stanno o no su una retta; una curva è molto più difficile da giudicare “a occhio”.
2. Regressione lineare semplice e robusta: il metodo dei minimi quadrati per una retta è elementare e fornisce direttamente pendenza e intercetta con le relative incertezze.
3. Estrazione del parametro fisico: dalla pendenza $m = 4\pi^2/g$ si ricava $g = 4\pi^2/m$, cioè si misura $g$ dalla semplice inclinazione della retta.
4. Controllo dell’origine: una retta che passa (entro l’errore) per l’origine conferma l’assenza di offset sistematici; una intercetta non nulla segnala un errore da correggere.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Lettura dei grafici · Linearizzazione dei dati Oggetti: Pendolo semplice