Esercizio svolto — Il cubo di piombo dimezzato

Testo

Hai un cubo di piombo di spigolo $\ell = 1\;\text{m}$. Un amico ti chiede metà del cubo. Tu allora fondi metà del tuo piombo e ne fai un cubo nuovo. Quanto vale lo spigolo di questo nuovo cubo?

Soluzione

Passo 1 — Volume di partenza. Il volume del cubo originale è

$V = \ell^3 = 1\;\text{m}^3$

Passo 2 — Metà del volume. Metà di quel volume è $V' = 0{,}5\;\text{m}^3$. Il nuovo cubo ha spigolo $\ell'$ tale che $\ell'^3 = 0{,}5$, quindi:

$\ev{\ell' = \sqrt[3]{0{,}5} \approx 0{,}794\;\text{m}}$

Passo 3 — Interpretazione. Il risultato non è $\ell/2 = 0{,}5\;\text{m}$! Il volume scala come il cubo della dimensione lineare: per dimezzare un volume lo spigolo va ridotto solo a circa il $79\%$, non al $50\%$. La stessa legge di scala spiega perché un grattacielo alto il doppio di un altro ha otto volte più spazio interno, e perché le formiche (piccole) possono sollevare proporzionalmente molto più peso degli elefanti (grandi).

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Notazione scientifica e ordini di grandezza Competenze: Analisi dimensionale