Problema — Ranking dell'incertezza degli strumenti

Testo

Quattro studenti misurano la stessa lunghezza $L$ con strumenti diversi. (A) Calibro, $20$ volte, risultati concordi entro $0{,}05$ mm. (B) Righello, $5$ volte, oscillazione $1$ mm. (C) Micrometro, $50$ volte, oscillazione $0{,}01$ mm. (D) Metro a nastro letto “a occhio”, $3$ volte, oscillazione $1$ mm. Ordina le stime dell’incertezza statistica sulla media dalla minore alla maggiore (ricorda $\sigma/\sqrt{N}$).

Soluzione

Criterio. L’incertezza statistica sulla media non è la dispersione $\sigma$ della singola misura, ma vale $\sigma/\sqrt{N}$: dipende sia da quanto è preciso lo strumento (piccola $\sigma$) sia da quante volte si è ripetuta la misura (grande $N$). Calcoliamo $\sigma/\sqrt{N}$ per ciascuno, prendendo l’oscillazione come stima di $\sigma$.

$\begin{aligned} \text{(A)}\ & \frac{0{,}05}{\sqrt{20}} \approx 0{,}011\ \mathrm{mm} \\ \text{(B)}\ & \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0{,}45\ \mathrm{mm} \\ \text{(C)}\ & \frac{0{,}01}{\sqrt{50}} \approx 0{,}0014\ \mathrm{mm} \\ \text{(D)}\ & \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}58\ \mathrm{mm} \end{aligned}$

Ordinamento crescente. $\text{C}\,(0{,}0014) \ <\ \text{A}\,(0{,}011) \ <\ \text{B}\,(0{,}45) \ <\ \text{D}\,(0{,}58)$

Il micrometro (C) vince due volte: ha la $\sigma$ più piccola ed è stato ripetuto più volte. Il calibro (A) segue. Righello (B) e metro “a occhio” (D) hanno la stessa dispersione della singola misura ($1$ mm), quindi si distinguono solo per $N$: $B$ ha $N=5$ contro $N=3$ di $D$, perciò $B$ è leggermente migliore. In prima approssimazione si scrive $\text{C} < \text{A} < \text{B} \approx \text{D}$, poiché con $\sigma$ uguale e $N$ simili le due incertezze sono confrontabili; il calcolo esatto dà però $\text{B} \lesssim \text{D}$.

$\ev{\text{C} \ <\ \text{A} \ <\ \text{B} \ \lesssim\ \text{D}}$

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Concetti: Cifre significative e incertezza Competenze: Ragionamento di ranking · Propagazione degli errori