Problema — Grafico lineare y = kx

Testo

Perché la legge $y = kx$ è una forma così ricorrente in fisica? Cita almeno tre esempi concreti e spiega come si ricava $k$ dal grafico.

Soluzione

Perché è così ricorrente. La relazione $y = kx$ esprime una proporzionalità diretta: raddoppiando $x$ raddoppia $y$, e per $x=0$ si ha $y=0$. È la forma più semplice di dipendenza non banale, e moltissime leggi fisiche, nell’intervallo in cui gli effetti sono “piccoli” o l’idealizzazione regge, si riducono proprio a una proporzionalità diretta. Il grafico è una retta passante per l’origine, la cui pendenza è la costante $k$: questo la rende immediata da riconoscere e da misurare.

Tre (e più) esempi concreti.

• Legge di Ohm: $V = R\,I$ — la tensione è proporzionale alla corrente, con $k = R$ (resistenza).
• Legge di Hooke: $F = k\,x$ — la forza elastica è proporzionale all’allungamento, con $k$ costante elastica della molla.
• Seconda legge della dinamica (a fissato): $F = m\,a$ — a massa costante, la forza è proporzionale all’accelerazione, con $k = m$.
• Densità: $m = \rho\,V$ — la massa è proporzionale al volume, con $k = \rho$.

Come si ricava $k$ dal grafico. Poiché la retta passa per l’origine, $k$ è la sua pendenza. Si prendono due punti sufficientemente distanti sulla retta di best-fit, $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$, e si calcola $k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.$ È importante usare due punti della retta interpolante, non due dati sperimentali qualsiasi (che portano dispersione): la retta di best-fit media l’errore casuale. Le linee tratteggiate nel grafico mostrano come, scelto un valore di $x$, si legga la corrispondente $y = kx$ sull’asse verticale.

$\ev{y=kx\ \Rightarrow\ \text{retta per l'origine};\quad k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\ \text{(pendenza del best-fit)}}$

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Lettura dei grafici · Linearizzazione dei dati