Problema — Legge dai dati del pendolo

Testo

Si misura il periodo $T$ di un pendolo al variare della lunghezza $L$. Dati: $L=0{,}25$ m → $T=1{,}00$ s; $L=0{,}50$ m → $T=1{,}42$ s; $L=1{,}00$ m → $T=2{,}01$ s; $L=2{,}00$ m → $T=2{,}84$ s. Verifica graficamente, riportando $T$ in funzione di $\sqrt{L}$, che la relazione è del tipo $T=k\sqrt{L}$ e determina $k$. Confronta con la formula teorica $T=2\pi\sqrt{L/g}$.

Soluzione

Linearizzazione. Se la legge è $T=k\sqrt{L}$, allora riportando $T$ in funzione della nuova variabile $x=\sqrt{L}$ si ottiene una retta passante per l’origine, con pendenza $k$. Calcoliamo $\sqrt{L}$ per ogni dato: $\begin{aligned} L=0{,}25 \Rightarrow \sqrt{L}=0{,}50, \quad T=1{,}00 \\ L=0{,}50 \Rightarrow \sqrt{L}=0{,}707, \quad T=1{,}42 \\ L=1{,}00 \Rightarrow \sqrt{L}=1{,}00, \quad T=2{,}01 \\ L=2{,}00 \Rightarrow \sqrt{L}=1{,}414, \quad T=2{,}84 \end{aligned}$ I punti $(\sqrt{L},\,T)$ si dispongono su una retta per l’origine: la legge $T=k\sqrt{L}$ è confermata.

Pendenza. Stimiamo $k=T/\sqrt{L}$ da ciascun punto: $\begin{aligned} \frac{1{,}00}{0{,}50}=2{,}00 \\ \frac{2{,}01}{1{,}00}=2{,}01 \\ \frac{2{,}84}{1{,}414}=2{,}01 \end{aligned}$ I valori coincidono entro l’incertezza: $k \approx 2{,}01 \ \text{s}/\sqrt{\text{m}}$.

Confronto con la teoria. La formula teorica $T=2\pi\sqrt{L/g}$ si riscrive come $T = \dfrac{2\pi}{\sqrt{g}}\sqrt{L}$, dunque la pendenza teorica è $k_\text{teo} = \frac{2\pi}{\sqrt{g}} = \frac{2\pi}{\sqrt{9{,}8}} \approx 2{,}006 \ \text{s}/\sqrt{\text{m}}$ in ottimo accordo con il valore sperimentale.

$\ev{k \approx 2{,}01 \ \text{s}/\sqrt{\text{m}} \;\approx\; \frac{2\pi}{\sqrt{g}}}$

Collegamenti

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