Problema — Precisione richiesta su g

Testo

Vuoi misurare $g$ con incertezza relativa $\le 1\%$ usando un pendolo di lunghezza $L=1$ m e una misura della lunghezza con $\Delta L = 1$ cm. Sapendo che $\Delta g/g \approx \Delta L/L + 2\,\Delta T/T$, trova l’incertezza massima accettabile su $T$ e commenta se basta un cronometro a mano (tempo di reazione $\sim 200$ ms).

Soluzione

Contributo della lunghezza. L’incertezza relativa sulla lunghezza vale $\frac{\Delta L}{L} = \frac{0{,}01 \ \text{m}}{1 \ \text{m}} = 0{,}01 = 1\%$

Ripartizione dell’errore. La formula di propagazione dà $\dfrac{\Delta g}{g} \approx \dfrac{\Delta L}{L} + 2\dfrac{\Delta T}{T}$. Per contenere il totale entro l’$1\%$ non possiamo lasciare che il termine temporale sia grande: chiediamo che il contributo del tempo resti piccolo, diciamo $2\,\Delta T/T \le 0{,}5\%$, cioè $\frac{\Delta T}{T} \le 0{,}25\% = 0{,}0025$

Incertezza sul periodo. Il periodo di un pendolo di $1$ m è $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}8}} \approx 2{,}0 \ \text{s}$ quindi $\Delta T \le 0{,}0025 \times 2{,}0 \ \text{s} = 5 \times 10^{-3} \ \text{s} = 5 \ \text{ms}$

Commento. Un cronometro azionato a mano ha incertezza dominata dal tempo di reazione umano, $\sim 200$ ms, cioè circa 40 volte più grande del limite richiesto. È del tutto insufficiente. Soluzioni: usare fotocellule (misura automatica del passaggio), oppure cronometrare $N$ oscillazioni e dividere: misurando $N=100$ periodi l’errore sul singolo periodo si riduce di $N$, riportando i $200$ ms complessivi a $2$ ms per periodo.

$\ev{\Delta T \lesssim 5 \ \text{ms} \;\Rightarrow\; cronometro\ a\ mano\ insufficiente}$

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Concetti: Cifre significative e incertezza Competenze: Propagazione degli errori