Problema — Quante ripetizioni per confermare una legge

Testo

Stima, con Fermi, quante misure indipendenti servono per confermare una nuova legge al $99\%$ di confidenza. Considera prima il caso semplice (test binario tipo testa/croce), poi il caso di stime continue con barre d’errore.

Soluzione

Caso binario (sì/no). Supponiamo che una previsione della legge abbia probabilità $50\%$ di risultare corretta per puro caso (come indovinare testa o croce). Se ripetiamo $n$ prove indipendenti e la legge azzecca ogni volta, la probabilità che ciò accada casualmente è $P = \left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ Vogliamo scendere sotto l’$1\%$ perché la coincidenza casuale sia implausibile: $\left(\frac{1}{2}\right)^{n} < 0{,}01$ Prendendo il logaritmo: $n > \frac{\log(0{,}01)}{\log(0{,}5)} = \frac{-2}{-0{,}301} \approx 6{,}6$ Bastano dunque circa 7 conferme indipendenti per raggiungere il $99\%$ di confidenza nel caso binario.

Caso continuo (misure con barre d’errore). Quando la previsione è un valore numerico continuo confrontato con una misura affetta da incertezza $\sigma$, non basta un “sì/no”: occorre che l’intervallo di confidenza sulla media sia abbastanza stretto da distinguere l’effetto previsto dal rumore. Poiché l’incertezza sulla media decresce come $\sigma/\sqrt{N}$, per stringere gli intervalli al livello del $99\%$ e cogliere effetti confrontabili con $\sigma$ servono tipicamente alcune decine di misure indipendenti (il numero preciso dipende da $\sigma$ e dall’entità dell’effetto).

$\ev{n \approx 7 \ (\text{binario}) \;;\quad n \sim \text{decine} \ (\text{continuo})}$

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Concetti: Cifre significative e incertezza Competenze: Stime di Fermi