Problema — Campione piccolo (moneta)

Testo

Uno studente lancia $10$ volte una moneta, ottiene $8$ teste e conclude “è truccata”. Perché è una conclusione debole? Ragiona sulla distribuzione binomiale: la probabilità di $\ge 8$ teste su $10$ con una moneta sana è circa $5{,}5\%$.

Soluzione

La probabilità in gioco. Con una moneta perfettamente sana (probabilità $1/2$ per faccia), la probabilità di ottenere $8$, $9$ o $10$ teste su $10$ lanci è, sommando i tre casi della distribuzione binomiale, circa $P(\ge 8 \text{ teste}) \approx 5{,}5\%$ Questo significa che l’evento osservato capita in media circa una volta ogni 18 prove da dieci lanci: è raro, ma tutt’altro che eccezionale. Non è affatto una prova di truccamento.

Il problema del campione piccolo. Un campione di sole $10$ prove è soggetto a forti fluttuazioni statistiche: i risultati possono discostarsi parecchio dal valore atteso ($5$ teste) per semplice caso. Con così pochi dati non si riesce a distinguere una moneta davvero truccata da una fluttuazione casuale di una moneta sana. La conclusione dello studente confonde una fluttuazione ordinaria con un effetto reale.

Quante prove servono. L’ampiezza relativa delle fluttuazioni statistiche decresce come $1/\sqrt{N}$ al crescere del numero $N$ di prove. Per ridurre il rumore a un livello che permetta di rivelare uno sbilanciamento occorrono molte più prove: dell’ordine di $\sim 100$ lanci o più. Solo allora un eccesso persistente di teste diventerebbe statisticamente significativo.

$\ev{P(\ge 8) \approx 5{,}5\% \Rightarrow \text{fluttuazione ordinaria; servono} \sim 100 \text{ lanci per concludere}}$

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Concetti: Cifre significative e incertezza