Problema — Progettare la misura di g

Testo

Vuoi misurare $g$ in un laboratorio scolastico con incertezza $\le 2\%$. Scegli un metodo, indica gli strumenti, le principali fonti di errore con le relative soluzioni e stima il numero minimo di ripetizioni.

Soluzione

Metodo: caduta libera. Una sfera lasciata cadere da ferma percorre l’altezza $h$ nel tempo $t$ secondo $h = \tfrac{1}{2}g t^2$, da cui $g = \frac{2h}{t^2}$

Strumenti. Due fotocellule (start e stop) per misurare $t$ elettronicamente, evitando il tempo di reazione umano; un metro per l’altezza $h$; una sfera densa (es. acciaio) per rendere trascurabile l’attrito dell’aria.

Fonti di errore e soluzioni.

• Tempo di reazione nel cronometraggio a mano: eliminato usando le fotocellule.
• Attrito dell’aria: ridotto con una sfera densa e compatta e con $h$ non troppo grande, così la velocità resta modesta.
• Misura di $h$: cura nel posizionare i traguardi delle fotocellule e nel leggere il metro.

Bilancio dell’incertezza. Dalla propagazione degli errori sul prodotto/quoziente: $\frac{\Delta g}{g} \approx \frac{\Delta h}{h} + 2\,\frac{\Delta t}{t}$ Il tempo pesa il doppio: per stare sotto il $2\%$ occorre controllare soprattutto $t$ (fotocellule) e misurare bene $h$.

Ripetizioni. L’errore casuale sulla media scala come $1/\sqrt{N}$: circa $N \approx 10$ ripetizioni bastano a mediare le fluttuazioni residue e a stimare la dispersione.

$\ev{g = \dfrac{2h}{t^2}\ ;\quad \text{fotocellule} + \text{sfera densa},\ \ N \approx 10}$

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Concetti: Cifre significative e incertezza Competenze: Propagazione degli errori