Problema — Paradosso di Bertrand

Testo

In un cerchio di raggio $R$ si traccia una corda “a caso”. Qual è la probabilità che la corda sia più lunga di $R\sqrt{3}$ (il lato del triangolo equilatero inscritto)? Mostra che tre definizioni naturali di “corda a caso” danno risposte diverse e discuti cosa insegna al metodo sperimentale.

Soluzione

La corda supera $R\sqrt{3}$ quando il suo punto medio dista dal centro meno di $R/2$. Le tre costruzioni “naturali” danno tre valori diversi.

Metodo 1 — estremi casuali sulla circonferenza. Si fissa un estremo e si sceglie il secondo uniformemente sulla circonferenza. La corda supera il lato del triangolo equilatero inscritto quando il secondo estremo cade nell’arco opposto, ampio un terzo dell’intera circonferenza: $P_1 = \frac{1}{3}$

Metodo 2 — punto medio uniforme nel disco. Si sceglie il punto medio della corda uniformemente nell’area del disco. La condizione (distanza dal centro $< R/2$) individua un disco concentrico di raggio $R/2$: $P_2 = \frac{\pi (R/2)^2}{\pi R^2} = \frac{1}{4}$

Metodo 3 — distanza dal centro uniforme sul raggio. Si sceglie una direzione e la distanza $d$ del punto medio dal centro uniformemente in $[0,R]$. La condizione $d < R/2$ dà: $P_3 = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$

Perché non c’è contraddizione. L’espressione “corda a caso” non è definita finché non si specifica il procedimento operativo con cui la corda viene estratta. Ogni metodo campiona uno spazio diverso con una distribuzione diversa, quindi risponde a una domanda diversa.

Lezione per il metodo sperimentale. Una grandezza aleatoria (o una misura) ha senso solo se si definisce operativamente come la si estrae o la si osserva. Senza un protocollo di campionamento la domanda è mal posta: la definizione operativa precede la risposta numerica.

$\ev{P_1 = \tfrac{1}{3},\quad P_2 = \tfrac{1}{4},\quad P_3 = \tfrac{1}{2}}$

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale