Problema — Rimbalzo log-log

Testo

Una pallina rimbalza e si misurano le coppie (altezza di rilascio $h$, tempo di un singolo rimbalzo $\tau$): $(0{,}20;\ 0{,}20)$, $(0{,}80;\ 0{,}40)$, $(1{,}80;\ 0{,}60)$, $(3{,}20;\ 0{,}80)$, con $h$ in metri e $\tau$ in secondi. Verifica graficamente (log-log) che $\tau = a\,h^{n}$ e determina $a$ e $n$.

Soluzione

Idea. Se vale una legge di potenza $\tau = a\,h^{n}$, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene $\log\tau = \log a + n\log h$ cioè, nelle variabili $\log h$ e $\log\tau$, una retta di pendenza $n$ e intercetta $\log a$. Riportando i dati su un grafico log-log dobbiamo quindi ottenere punti allineati.

Stima dell’esponente $n$. Basta osservare come cambia $\tau$ quando $h$ viene moltiplicato per un fattore noto. Passando dalla prima alla seconda coppia, $h$ va da $0{,}20$ a $0{,}80$, cioè si quadruplica ($\times 4$), mentre $\tau$ va da $0{,}20$ a $0{,}40$, cioè raddoppia ($\times 2$). Poiché $4^{n} = 2$ implica $n = 1/2$, la legge è del tipo $\tau \propto \sqrt{h}$. Il controllo con le altre coppie conferma: da $h=0{,}20$ a $h=3{,}20$ il fattore è $\times 16$ e $\tau$ passa da $0{,}20$ a $0{,}80$, cioè $\times 4 = 16^{1/2}$. Coerente.

Sul grafico log-log la pendenza vale $n = \frac{\log\tau_2 - \log\tau_1}{\log h_2 - \log h_1} = \frac{\log(0{,}80/0{,}20)}{\log(3{,}20/0{,}20)} = \frac{\log 4}{\log 16} = \frac{1}{2}$

Stima del coefficiente $a$. Da $\tau = a\sqrt{h}$ si ricava $a = \tau/\sqrt{h}$. Usando il primo punto $(h=0{,}20,\ \tau=0{,}20)$: $a = \frac{0{,}20}{\sqrt{0{,}20}} = \sqrt{0{,}20} \approx 0{,}45 \ \mathrm{s\cdot m^{-1/2}}$

Schema del grafico log-log (punti allineati su una retta di pendenza $1/2$):

$\ev{n = \tfrac{1}{2} \qquad a \approx 0{,}45\ \mathrm{s\cdot m^{-1/2}} \qquad \tau \approx 0{,}45\,\sqrt{h}}$

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle scale logaritmiche · Linearizzazione dei dati · Lettura dei grafici