Problema — Velocità d'impatto e coefficiente di restituzione

Testo

Una pallina viene lasciata cadere da $h_0 = 1{,}0$ m; rimbalza fino a $h_1 = 0{,}64$ m. Calcola la velocità di impatto al suolo e il coefficiente di restituzione $e = \sqrt{h_1/h_0}$, giustificando la formula.

Soluzione

Velocità di impatto. Durante la caduta libera da ferma, la conservazione dell’energia (oppure $v^2 = 2gh$) dà la velocità con cui la pallina arriva al suolo: $v = \sqrt{2\,g\,h_0} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 1{,}0} \approx 4{,}43 \ \mathrm{m/s}$

Giustificazione del coefficiente di restituzione. Il coefficiente di restituzione è definito come il rapporto fra il modulo della velocità subito dopo l’urto e quello subito prima: $e = \frac{v_{\text{dopo}}}{v_{\text{prima}}}$ Sia prima (caduta) sia dopo (risalita) vale la relazione fra velocità e altezza $v^2 = 2gh$, cioè $h \propto v^2$. Quindi per la velocità di risalita $v_{\text{dopo}} = \sqrt{2 g h_1}$ e per quella di impatto $v_{\text{prima}} = \sqrt{2 g h_0}$, da cui $e = \frac{\sqrt{2 g h_1}}{\sqrt{2 g h_0}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_0}}$ Questo spiega perché il coefficiente di restituzione si può ricavare semplicemente misurando le due altezze, senza misurare direttamente le velocità.

Calcolo numerico. $e = \sqrt{\frac{0{,}64}{1{,}0}} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}80$

$\ev{v \approx 4{,}4\ \mathrm{m/s} \qquad e = 0{,}80}$

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Uso delle cifre significative