Problema — Cronometro manuale contro fotocellule

Testo

Un compagno misura il tempo di caduta di un oggetto con un cronometro manuale e ottiene sempre valori fra $0{,}45$ e $0{,}55$ s. Un secondo gruppo, con fotocellule, ottiene $0{,}502 \pm 0{,}003$ s. Discuti qualitativamente la differenza fra errore casuale ed errore sistematico nei due casi e come ridurre ciascuno.

Soluzione

Errore casuale. È l’errore che varia in modo imprevedibile da una misura all’altra, disperdendo i valori attorno alla media. Nel caso del cronometro manuale la causa dominante è il tempo di reazione dell’operatore (dell’ordine di $0{,}2$ s), che cambia ogni volta a seconda di quanto in anticipo o in ritardo si preme il pulsante. È proprio questo che fa oscillare i risultati fra $0{,}45$ e $0{,}55$ s: una dispersione larga circa $\pm 0{,}05$ s. Le fotocellule invece fanno partire e fermare il conteggio automaticamente al passaggio dell’oggetto, eliminando il tempo di reazione umano: la dispersione crolla a $\pm 0{,}003$ s. Per questo la misura con fotocellule ha un errore casuale molto più piccolo.

Come si riduce l’errore casuale? Ripetendo molte volte la misura e facendone la media: l’incertezza sulla media diminuisce come $1/\sqrt{N}$, dove $N$ è il numero di misure. Mediando abbastanza misure col cronometro manuale si può stringere il risultato, ma resta comunque conveniente usare uno strumento (le fotocellule) che l’errore casuale lo abbatte all’origine.

Errore sistematico. È un errore che si ripete sempre nello stesso verso e con la stessa entità, per esempio uno strumento starato (fotocellule mal posizionate, cronometro che parte con un ritardo fisso). A differenza di quello casuale, l’errore sistematico non si riduce mediando molte misure: la media resterebbe spostata sempre dalla stessa quantità. Per correggerlo occorre intervenire sulla causa, cioè tarare lo strumento con un riferimento noto, o correggere a posteriori la misura una volta stimato lo scostamento.

$\ev{\text{Casuale} \to \text{media su } N \text{ misure } (\propto 1/\sqrt{N}); \quad \text{Sistematico} \to \text{taratura}}$

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Concetti: Cifre significative e incertezza