Problema — Somma dei tempi di rimbalzo

Testo

Una pallina con coefficiente di restituzione $e < 1$ parte da terra con velocità verso l’alto $v_0$ e rimbalza ripetutamente. Dimostra che la somma dei tempi di tutti i rimbalzi è finita e vale $T_{\text{tot}} = 2\tau_0/(1-e)$, dove $\tau_0 = v_0/g$. Quale risultato matematico garantisce la finitezza della somma?

Soluzione

Durata del primo volo. La pallina parte verso l’alto con velocità $v_0$; sale, si ferma e ricade, tornando al suolo con la stessa velocità $v_0$ (moto simmetrico). Il tempo di salita è $v_0/g = \tau_0$, e altrettanto vale la discesa, quindi il primo volo dura $t_0 = \frac{2 v_0}{g} = 2\tau_0$

Effetto del coefficiente di restituzione. A ogni rimbalzo la velocità di ripartenza si riduce di un fattore $e$: dopo il primo urto la pallina riparte con $v_1 = e\,v_0$, dopo il secondo con $v_2 = e^2 v_0$, e in generale $v_n = e^{n} v_0$. Poiché la durata di ciascun volo è proporzionale alla velocità di ripartenza, il volo $n$-esimo dura $t_n = \frac{2 v_n}{g} = 2\tau_0\, e^{n}$

Somma della serie. Il tempo totale è la somma di tutti i voli: $T_{\text{tot}} = \sum_{n=0}^{\infty} 2\tau_0\, e^{n} = 2\tau_0 \left(1 + e + e^2 + e^3 + \cdots\right)$ La parentesi è una serie geometrica di ragione $e$. Poiché $e < 1$, la serie converge e la sua somma vale $1/(1-e)$: $T_{\text{tot}} = 2\tau_0 \cdot \frac{1}{1-e} = \frac{2\tau_0}{1-e}$

Risultato matematico che garantisce la finitezza. È la convergenza della serie geometrica per $|e| < 1$: sebbene i rimbalzi siano infiniti, i loro tempi decrescono in progressione geometrica abbastanza in fretta perché la loro somma sia un numero finito. La pallina compie infiniti rimbalzi in un tempo totale finito.

$\ev{T_{\text{tot}} = \dfrac{2\tau_0}{1-e}, \qquad \tau_0 = \dfrac{v_0}{g}}$

Collegamenti

Argomenti: Metodo sperimentale Competenze: Analisi dimensionale