Notazione vettoriale per componenti

In fisica descriviamo le grandezze direzionali (posizione, velocità, accelerazione, forza) tramite vettori. Un vettore nel piano si scrive come colonna di due componenti:

$\vec{S} = \begin{pmatrix} S_x \\ S_y \end{pmatrix}$

Le operazioni fondamentali si eseguono componente per componente, il che riduce ogni problema vettoriale a due problemi scalari indipendenti — uno lungo $x$, uno lungo $y$.

Operazioni con i vettori

• Somma: $\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x + b_x \\ a_y + b_y \end{pmatrix}$
• Modulo: $\norm{\vec{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
• Direzione: $\theta = \arctan\!\left(\dfrac{v_y}{v_x}\right)$

Esempio — Lo spostamento del coniglio

Un coniglio parte dall’origine, si sposta di $4\;\text{m}$ verso Nord, poi ruota di $30°$ in senso orario e avanza di $2\;\text{m}$. Quanto dista dall’origine?

I due spostamenti in componenti (asse $x$ = Est, asse $y$ = Nord) sono: $\vec{S}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}, \qquad \vec{S}_2 = \begin{pmatrix} 2\sin 30° \\ 2\cos 30° \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1{,}73 \end{pmatrix}$

Lo spostamento totale è la somma componente per componente, e il suo modulo si trova col teorema di Pitagora: $\vec{S}_{\text{tot}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 5{,}73 \end{pmatrix}, \qquad \norm{\vec{S}_{\text{tot}}} = \sqrt{1^2 + 5{,}73^2} = 5{,}82\;\text{m}$

La direzione rispetto all’asse $x$: $\beta = \arctan(5{,}73/1) = 80{,}1°$.

Somma vettoriale degli spostamenti: $\vec{S}_1$ verso Nord, $\vec{S}_2$ inclinato, e la risultante $\vec{S}_{\text{tot}}$ (tratteggiata).

▶ I vettori: che cosa sono davvero — 3Blue1Brown

Collegamenti

Argomenti: Vettori Concetti: Componenti di un vettore Competenze: Scomposizione vettoriale · Uso della trigonometria Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane

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