Problema — Macchina di Atwood (soluzione simbolica)

Testo

Due masse $m_1 > m_2$ sono collegate da una fune inestensibile che passa su una puleggia ideale (macchina di Atwood). Determina simbolicamente l’accelerazione del sistema e la tensione della fune. Commenta i casi limite $m_1 = m_2$ e $m_2 \to 0$.

Soluzione

Passo 1 — Scelta dei versi. La fune è inestensibile e la puleggia ideale (senza massa né attrito): il modulo dell’accelerazione $a$ è lo stesso per le due masse e la tensione $T$ è unica lungo la fune. Essendo $m_1 > m_2$, la massa $m_1$ scende e $m_2$ sale. Scegliamo come positivo il verso del moto di ciascuna massa.

Passo 2 — Seconda legge di Newton per ciascuna massa.

$m_1:\quad m_1 g - T = m_1 a$

$m_2:\quad T - m_2 g = m_2 a$

Passo 3 — Accelerazione. Sommando membro a membro, la tensione si elimina:

$(m_1 - m_2)\,g = (m_1 + m_2)\,a$

$\ev{a = \dfrac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,g}$

Passo 4 — Tensione. Sostituendo $a$ nella seconda equazione, $T = m_2(g + a)$:

$T = m_2 g\left(1 + \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right) = m_2 g \cdot \frac{2 m_1}{m_1 + m_2}$

$\ev{T = \dfrac{2\,m_1 m_2}{m_1 + m_2}\,g}$

Casi limite.

• $m_1 = m_2$: si ottiene $a = 0$ e $T = m_1 g$. Il sistema è bilanciato, resta in equilibrio (o si muove a velocità costante) e la fune sorregge semplicemente il peso di una massa. Coerente con l’intuizione.
• $m_2 \to 0$: si ottiene $a \to g$ e $T \to 0$. Con una sola massa appesa, questa cade in caduta libera e la fune, non dovendo trattenere nulla dall’altra parte, non è più in tensione. Anche questo è fisicamente ragionevole.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Tensione Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Macchina di Atwood