Problema — Legge di Hooke da dati sperimentali

Testo

In un esperimento su una molla si misurano le coppie (forza applicata, allungamento): $(1{,}0;\,4{,}5)$, $(2{,}0;\,7{,}0)$, $(3{,}0;\,9{,}5)$, $(4{,}0;\,12{,}0)$ in N e cm. Disegna il grafico di $F$ in funzione dell’allungamento $\Delta x$, verifica se è valida la legge di Hooke e ricava la costante elastica $k$. Il grafico passa per l’origine degli assi?

Soluzione

Passo 1 — Organizzare i dati.

$F$ [N]	$\Delta x$ [cm]
1,0	4,5
2,0	7,0
3,0	9,5
4,0	12,0

Passo 2 — Verifica di linearità. Passando da una riga alla successiva, la forza aumenta sempre di $1{,}0\;\text{N}$ e l’allungamento sempre di $2{,}5\;\text{cm}$:

$4{,}5 \to 7{,}0 \to 9{,}5 \to 12{,}0 \quad(\text{passo costante } +2{,}5\;\text{cm})$

Gli incrementi sono costanti: i punti sono allineati, quindi la relazione fra $F$ e $\Delta x$ è lineare e la legge di Hooke è verificata (nell’intervallo esplorato).

Passo 3 — Costante elastica. La pendenza del grafico $F$—$\Delta x$ è il rapporto fra incremento di forza e incremento di allungamento. Convertendo i centimetri in metri ($2{,}5\;\text{cm} = 0{,}025\;\text{m}$):

$k = \frac{\Delta F}{\Delta(\Delta x)} = \frac{1{,}0\;\text{N}}{0{,}025\;\text{m}} = 40\;\text{N/m}$

$\ev{k \approx 40\;\mathrm{N/m}}$

Passo 4 — La retta passa per l’origine? Estrapolando la retta fino a $F = 0$: la relazione si scrive $\Delta x = 2{,}5\,F + 2{,}0$ (con $\Delta x$ in cm), quindi per $F = 0$ si avrebbe $\Delta x = 2{,}0\;\text{cm}$. La retta non passa per l’origine: interseca l’asse degli allungamenti in

$\ev{x_0 \approx 2{,}0\;\mathrm{cm}}$

C’è cioè un allungamento iniziale (un offset) già presente a forza nulla, per esempio dovuto a un precarico della molla o a un gioco iniziale del sistema di misura. La legge corretta è allora $F = k(\Delta x - x_0)$: resta lineare, ma è “traslata” rispetto all’origine.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Forza elastica e legge di Hooke Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Molla