Problema — Discesa su piano inclinato con attrito

Testo

Un corpo scende lungo un piano inclinato di angolo $\theta$ in presenza di attrito dinamico $\mu_d$. Scrivendo la seconda legge di Newton lungo il piano e ortogonalmente ad esso, dimostra che l’accelerazione del corpo vale $a = g(\sin\theta - \mu_d\cos\theta)$. Per quale angolo minimo il corpo comincia a muoversi da fermo, in presenza di attrito statico $\mu_s$?

Soluzione

Passo 1 — Scelta degli assi. Conviene scegliere gli assi inclinati: l’asse $x$ lungo il piano, orientato nel verso della discesa, e l’asse $y$ ortogonale al piano, verso l’esterno. Con questa scelta l’accelerazione ha solo la componente $x$.

Passo 2 — Scomposizione del peso. Il peso $mg$ è verticale. Rispetto agli assi inclinati si scompone in:

• componente lungo il piano (motrice): $mg\sin\theta$;
• componente ortogonale al piano: $mg\cos\theta$.

Passo 3 — Equazione ortogonale al piano. Il corpo non si stacca né affonda nel piano, quindi $a_y = 0$:

$N - mg\cos\theta = 0 \quad\Longrightarrow\quad N = mg\cos\theta$

Passo 4 — Forza di attrito dinamico. Il corpo scende, quindi l’attrito dinamico è diretto verso l’alto lungo il piano (si oppone al moto) e vale

$f_d = \mu_d N = \mu_d\, mg\cos\theta$

Passo 5 — Equazione lungo il piano. Lungo $x$, forza motrice meno attrito uguale massa per accelerazione:

$mg\sin\theta - \mu_d\, mg\cos\theta = m\,a$

Dividendo per $m$, la massa si semplifica:

$\ev{a = g(\sin\theta - \mu_d\cos\theta)}$

come si voleva dimostrare.

Passo 6 — Angolo minimo di distacco. A riposo agisce l’attrito statico, che può arrivare fino a $f_{s,\max} = \mu_s N = \mu_s\, mg\cos\theta$. Il corpo comincia a muoversi quando la componente motrice supera l’attrito statico massimo:

$mg\sin\theta > \mu_s\, mg\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad \tan\theta > \mu_s$

L’angolo minimo è dunque quello per cui $\tan\theta = \mu_s$:

$\ev{\theta_{\min} = \arctan\mu_s}$

Collegamenti

Argomenti: Attrito Concetti: Seconda legge di Newton · Attrito dinamico Competenze: Scomposizione sul piano inclinato Oggetti: Piano inclinato