Esercizio svolto — il giubbotto antiproiettile

Testo

Un proiettile di massa $m_1 = 20\;\text{g}$ viaggia a $v_0 = 400\;\text{m/s}$ quando colpisce il giubbotto antiproiettile di un militare (massa $m_2 = 80\;\text{kg}$, inizialmente fermo). Il proiettile si ferma completamente dopo aver penetrato il giubbotto per $\Delta s = 5\;\text{cm}$. Calcolare: (a) l’accelerazione del proiettile; (b) il tempo di arresto; (c) la forza esercitata dal giubbotto sul proiettile; (d) la forza (uguale e opposta, per la terza legge) esercitata dal proiettile sul militare; (e) di quanto il militare rincula nello stesso intervallo di tempo.

Soluzione

(a) Accelerazione del proiettile. Usiamo la relazione cinematica senza il tempo, $v^2 - v_0^2 = 2a\,\Delta s$, con $v = 0$ e $\Delta s = 0{,}05\;\text{m}$:

$a = \frac{0 - v_0^2}{2\,\Delta s} = \frac{-400^2}{2 \cdot 0{,}05}$

$\ev{a = -1{,}6 \cdot 10^6\;\text{m/s}^2}$

Una decelerazione di circa $160\,000\,g$, dell’ordine di centomila volte l’accelerazione di gravità terrestre.

(b) Tempo di arresto. Dalla definizione di accelerazione, $v = v_0 + a\,\Delta t$ con $v = 0$:

$\Delta t = \frac{0 - v_0}{a} = \frac{-400}{-1{,}6 \cdot 10^6}$

$\ev{\Delta t = 2{,}5 \cdot 10^{-4}\;\text{s}}$

Un quarto di millisecondo.

(c) Forza sul proiettile. Per la seconda legge di Newton, $F = m_1\,|a|$ con $m_1 = 0{,}020\;\text{kg}$:

$|F| = m_1\,|a| = 0{,}020 \cdot 1{,}6 \cdot 10^6$

$\ev{|F| = 32\,000\;\text{N}}$

(d) Forza sul militare (terza legge). Per il principio di azione e reazione, il proiettile esercita sul militare una forza uguale e opposta, $|F| = 32\,000\;\text{N} \approx 3{,}3$ tonnellate-forza. Questa produce un’accelerazione del militare:

$a_2 = \frac{F}{m_2} = \frac{32\,000}{80}$

$\ev{a_2 = 400\;\text{m/s}^2}$

(e) Rinculo del militare. Nello stesso intervallo $\Delta t = 2{,}5 \cdot 10^{-4}\;\text{s}$, partendo da fermo:

$\Delta s_2 = \tfrac{1}{2}\,a_2\,(\Delta t)^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 400 \cdot (2{,}5 \cdot 10^{-4})^2$

$\ev{\Delta s_2 \approx 1{,}25 \cdot 10^{-5}\;\text{m} = 12{,}5\;\mu\text{m}}$

Il militare rincula di appena qualche decina di micrometri durante l’impatto, ma la forza di $32\,000\;\text{N}$ per un istante lascia il segno: è esattamente per questo che le persone colpite al giubbotto antiproiettile vengono spinte violentemente all’indietro, anche se il proiettile non le penetra. La terza legge di Newton non fa sconti.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Terza legge di Newton · Seconda legge di Newton · Moto uniformemente accelerato Oggetti: Proiettile