Problema — Tre blocchi collegati e due tensioni

Testo

Tre blocchi di masse $m_1 = 2{,}0\;\text{kg}$, $m_2 = 3{,}0\;\text{kg}$, $m_3 = 5{,}0\;\text{kg}$ sono collegati da funi ideali su un piano orizzontale liscio, come in figura. Una forza $F = 20\;\text{N}$ tira il sistema. Calcola l’accelerazione comune e le tensioni $T_1$ e $T_2$ delle due funi.

Soluzione

Passo 1 — Accelerazione del sistema. Le funi sono ideali e inestensibili: i tre blocchi si muovono con la stessa accelerazione $a$. Considerando il sistema complessivo, le tensioni sono interne e la sola forza esterna orizzontale è $F$:

$F = (m_1 + m_2 + m_3)\,a \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{F}{m_1 + m_2 + m_3}$

$a = \frac{20\;\text{N}}{(2{,}0 + 3{,}0 + 5{,}0)\;\text{kg}} = \frac{20}{10} = 2{,}0\;\text{m/s}^2$

Passo 2 — Tensione $T_1$. La forza $F$ è applicata a $m_3$; la fune 1 collega $m_1$ a $m_2$ ed è l’unica forza orizzontale che agisce su $m_1$, trascinandolo:

$T_1 = m_1\,a = 2{,}0\;\text{kg} \times 2{,}0\;\text{m/s}^2 = 4{,}0\;\text{N}$

Passo 3 — Tensione $T_2$. La fune 2 collega $m_2$ a $m_3$ e deve trascinare tutto ciò che le sta “dietro”, cioè il gruppo $m_1 + m_2$:

$T_2 = (m_1 + m_2)\,a = 5{,}0\;\text{kg} \times 2{,}0\;\text{m/s}^2 = 10\;\text{N}$

Verifica. Sul blocco $m_3$: $F - T_2 = m_3\,a$, cioè $20 - 10 = 10 = 5{,}0 \times 2{,}0$. Coerente.

$\ev{a = 2{,}0\;\mathrm{m/s^2} \qquad T_1 = 4{,}0\;\mathrm{N} \qquad T_2 = 10\;\mathrm{N}}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Tensione Oggetti: Fune ideale · Blocco