Problema — Il montacarichi (grafico della bilancia)

Testo

Il montacarichi. Un montacarichi sale e poi si ferma. Una persona vi sta dentro su una bilancia. Quale grafico della lettura $W(t)$ corrisponde alla sequenza: partenza da fermo $\to$ salita a velocità costante $\to$ decelerazione $\to$ fermata? (O’Kuma, Maloney e Hieggelke 2004; vedi Riferimenti bibliografici)

Soluzione

Passo 1 — Cosa segna la bilancia. La bilancia misura la reazione normale $W$ che essa esercita sulla persona (il “peso apparente”). Applicando la seconda legge di Newton in verticale, con l’asse orientato verso l’alto:

$W - mg = m\,a \quad\Longrightarrow\quad W = m(g + a)$

dove $a$ è l’accelerazione (positiva se diretta verso l’alto). Quindi:

• $a > 0$ (accelerazione verso l’alto) $\Rightarrow W > mg$;
• $a = 0$ (fermo o velocità costante) $\Rightarrow W = mg$;
• $a < 0$ (accelerazione verso il basso) $\Rightarrow W < mg$.

Passo 2 — Ricostruire la sequenza.

1. Partenza da fermo verso l’alto: per iniziare la salita il montacarichi accelera verso l’alto, $a > 0$, quindi $W > mg$ (la bilancia segna più del peso reale).
2. Salita a velocità costante: $a = 0$, quindi $W = mg$ (torna al valore di riposo).
3. Decelerazione (rallenta per fermarsi mentre sale): l’accelerazione è ora diretta verso il basso, $a < 0$, quindi $W < mg$ (la bilancia segna meno).
4. Fermata: di nuovo $a = 0$, quindi $W = mg$.

Passo 3 — Confronto con i grafici. La successione richiesta è dunque: $mg \to$ sopra $mg \to$ ritorno a $mg \to$ sotto $mg \to$ ritorno a $mg$. È il grafico B, l’unico che sale sopra $mg$ nella fase iniziale, ritorna al valore di riposo durante la salita uniforme, scende sotto $mg$ nella decelerazione e infine risale a $mg$ alla fermata. I grafici A e C non rispettano l’ordine corretto delle fasi (in particolare non riportano la lettura a $mg$ durante il tratto a velocità costante).

$\ev{\text{Grafico B}}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Forza normale Competenze: Lettura dei grafici Oggetti: Ascensore · Bilancia