Macchina di Atwood (valori numerici)

Testo

Macchina di Atwood: due masse $m_1 = 3{,}0\;\text{kg}$ e $m_2 = 4{,}0\;\text{kg}$ sono appese ai due lati di una carrucola ideale (priva di massa, senza attrito). Determina l’accelerazione del sistema e la tensione della fune.

Soluzione

Passo 1 — Corpo libero delle due masse. La carrucola ideale si limita a deviare la fune senza cambiarne la tensione, quindi la fune tira entrambe le masse con la stessa tensione $T$. Poiché $m_2 > m_1$, la massa $m_2$ scende e $m_1$ sale, con la stessa accelerazione $a$ in modulo (fune inestensibile). Scriviamo la seconda legge prendendo come positivo il verso del moto per ciascuna massa.

Per $m_1$ (sale, forza motrice $T$, peso frenante):

$T - m_1 g = m_1 a$

Per $m_2$ (scende, peso motore, tensione frenante):

$m_2 g - T = m_2 a$

Passo 2 — Accelerazione. Sommando membro a membro le due equazioni si elimina $T$:

$m_2 g - m_1 g = (m_1 + m_2)\,a$

$a = \frac{(m_2 - m_1)\,g}{m_1 + m_2} = \frac{(4{,}0 - 3{,}0)\cdot 9{,}81}{3{,}0 + 4{,}0} = \frac{9{,}81}{7{,}0}$

$\ev{a \approx 1{,}4\;\text{m/s}^2}$

Passo 3 — Tensione. Sostituiamo $a$ nell’equazione di $m_1$, oppure usiamo la formula simbolica $T = \dfrac{2 m_1 m_2 g}{m_1 + m_2}$:

$T = \frac{2 \cdot 3{,}0 \cdot 4{,}0 \cdot 9{,}81}{3{,}0 + 4{,}0} = \frac{235{,}4}{7{,}0}$

$\ev{T \approx 33{,}6\;\text{N}}$

Controllo di sensatezza. La tensione $33{,}6\;\text{N}$ è compresa tra i due pesi $P_1 = 29{,}4\;\text{N}$ e $P_2 = 39{,}2\;\text{N}$, come dev’essere: la fune deve tirare $m_1$ più forte del suo peso (per farla salire) e $m_2$ meno del suo peso (per farla scendere).

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Tensione Oggetti: Macchina di Atwood