Salto dalla sedia (forza media)

Testo

Stima la forza media che agisce sui piedi quando salti giù da una sedia di altezza $50\;\text{cm}$ e atterri ammortizzando la caduta in $\sim 0{,}2\;\text{s}$. Confronta con il tuo peso. Cosa accade se atterri rigidamente, in $\sim 0{,}02\;\text{s}$?

Soluzione

Si tratta di una stima alla Fermi: assumiamo una massa corporea $m \approx 70\;\text{kg}$ e $g \approx 9{,}81\;\text{m/s}^2$.

Passo 1 — Velocità all’impatto. La caduta libera da $h = 0{,}50\;\text{m}$ porta, per conservazione dell’energia (o $v^2 = 2gh$), a

$v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}50} \approx \sqrt{9{,}81} \approx 3{,}1\;\text{m/s}$

Passo 2 — Impulso necessario per fermarsi. All’atterraggio la quantità di moto passa da $p = m v$ a zero. L’impulso (variazione della quantità di moto) che deve essere fornito dalle gambe per arrestare il corpo vale in modulo

$\abs{\Delta p} = m v = 70 \cdot 3{,}1 \approx 2{,}2 \cdot 10^2\;\text{N}\cdot\text{s} \sim 200\;\text{N}\cdot\text{s}$

Passo 3 — Forza media (atterraggio morbido, $\Delta t \approx 0{,}2\;\text{s}$). La forza media che decelera il corpo si ottiene dividendo l’impulso per il tempo di arresto:

$\bar F \approx \frac{\abs{\Delta p}}{\Delta t} = \frac{2{,}2 \cdot 10^2}{0{,}2} \approx 1{,}1 \cdot 10^3\;\text{N} \sim 1000\;\text{N}$

$\ev{\abs{\Delta p} \sim 200\;\text{N}\cdot\text{s} \qquad \bar F \sim 1000\;\text{N}}$

Confronto col peso. Il peso è $P = mg = 70 \cdot 9{,}81 \approx 690\;\text{N}$. La forza sui piedi è dunque circa $1{,}5$–$2$ volte il peso: piegando le gambe si distribuisce la decelerazione su un tempo relativamente lungo e lo sforzo resta tollerabile. (La forza normale totale è $\bar F + P$, ma la stima all’ordine di grandezza resta $\sim 10^3\;\text{N}$.)

Atterraggio rigido ($\Delta t \approx 0{,}02\;\text{s}$). Lo stesso impulso concentrato in un tempo dieci volte più breve produce una forza dieci volte maggiore:

$\bar F \approx \frac{2{,}2 \cdot 10^2}{0{,}02} \approx 1 \cdot 10^4\;\text{N} \sim 15\;\text{volte il peso}$

Ecco perché si atterra sempre piegando le ginocchia: allungare $\Delta t$ è l’unico modo di ridurre la forza a parità di impulso da assorbire. Un atterraggio a gambe tese può causare fratture proprio per questo picco di forza.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Impulso Competenze: Stime di Fermi