Due corpi collegati da carrucola

Testo

Due corpi collegati. Due blocchi sono collegati da una fune che scorre senza attrito su una carrucola ideale: $m_1 = 2{,}0\;\text{kg}$ sul tavolo orizzontale liscio, $m_2 = 3{,}0\;\text{kg}$ appeso al bordo. Calcola: (a) l’accelerazione del sistema, (b) la tensione della fune.

Soluzione

Passo 1 — Corpi liberi. La carrucola ideale devia la fune senza alterarne la tensione $T$, uguale su entrambi i tratti. La fune inestensibile impone lo stesso modulo di accelerazione $a$ ai due blocchi: $m_1$ scivola orizzontalmente verso la carrucola mentre $m_2$ scende. Il peso di $m_2$ è la forza motrice del sistema.

Blocco $m_1$ (orizzontale, tavolo liscio). L’unica forza orizzontale è la tensione:

$T = m_1 a \quad \text{(I)}$

(In verticale la normale bilancia il peso di $m_1$: non influisce sul moto.)

Blocco $m_2$ (verticale, scende). Prendendo il basso come positivo, agiscono il peso $m_2 g$ (motore) e la tensione $T$ (frenante):

$m_2 g - T = m_2 a \quad \text{(II)}$

Passo 2 — Accelerazione. Sommando (I) e (II) si elimina $T$:

$m_2 g = (m_1 + m_2)\,a$

$a = \frac{m_2\,g}{m_1 + m_2} = \frac{3{,}0 \cdot 9{,}81}{2{,}0 + 3{,}0} = \frac{29{,}43}{5{,}0}$

$\ev{a \approx 5{,}89\;\text{m/s}^2}$

Passo 3 — Tensione. Sostituendo in (I):

$T = m_1 a = 2{,}0 \cdot 5{,}89$

$\ev{T \approx 11{,}8\;\text{N}}$

Controllo. La tensione ($11{,}8\;\text{N}$) è minore del peso di $m_2$ ($P_2 = 29{,}4\;\text{N}$): giusto, altrimenti $m_2$ non scenderebbe. Inoltre, se il tavolo non ci fosse ($m_1 = 0$), si ritroverebbe $a = g$ e $T = 0$, la caduta libera. Coerente.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Tensione Oggetti: Puleggia · Fune ideale · Blocco