Piano inclinato con attrito dinamico

Testo

Un blocco di massa $m = 8{,}0\ \text{kg}$ poggia su un piano inclinato di $30^\circ$. Il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e piano vale $\mu_d = 0{,}25$. Calcola l’accelerazione del blocco lungo il piano se viene lasciato libero di scivolare.

Soluzione

Scegliamo gli assi allineati con il piano: l’asse $x$ lungo il piano, positivo verso il basso, e l’asse $y$ perpendicolare al piano. Scomponiamo la forza peso $\vv{P} = m\vv{g}$ nelle due componenti.

Lungo il piano (asse $x$) agisce la componente $P_x = mg\sin\theta$, mentre perpendicolarmente al piano la componente è $P_y = mg\cos\theta$.

Sull’asse $y$ il blocco non accelera, quindi la reazione normale bilancia la componente perpendicolare del peso: $N = mg\cos\theta$

La forza di attrito dinamico si oppone al moto (il blocco scivola verso il basso, quindi l’attrito è diretto verso l’alto lungo il piano) e vale: $F_a = \mu_d N = \mu_d\, mg\cos\theta$

Applichiamo la seconda legge di Newton lungo il piano: $mg\sin\theta - \mu_d\, mg\cos\theta = ma$

La massa si semplifica e otteniamo: $a = g\,(\sin\theta - \mu_d\cos\theta)$

Sostituiamo i valori numerici con $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$, $\sin 30^\circ = 0{,}500$ e $\cos 30^\circ = 0{,}866$: $a = 9{,}81 \cdot (0{,}500 - 0{,}25 \cdot 0{,}866) = 9{,}81 \cdot 0{,}2835$

$\ev{a \approx 2{,}77\ \text{m/s}^2 \quad \text{diretta lungo il piano verso il basso}}$

Poiché $\sin\theta > \mu_d\cos\theta$, il risultato è positivo: il blocco effettivamente scivola verso il basso accelerando.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica · Attrito Concetti: Seconda legge di Newton · Attrito dinamico Competenze: Scomposizione sul piano inclinato Oggetti: Piano inclinato · Blocco