Problema — Pendolo su un mezzo in accelerazione

Testo

Un pendolo ($2\;\text{kg}$) è appeso al soffitto di un autobus che accelera con $a = 3\;\text{m/s}^2$. Trovare modulo della tensione e angolo rispetto alla verticale.

Soluzione

Il pendolo, in equilibrio relativo dentro l’autobus, si inclina di un angolo $\theta$ rispetto alla verticale e accelera orizzontalmente insieme al mezzo. Su di esso agiscono il peso $\vv{P}$ (verticale, verso il basso) e la tensione $\vv{t}$ del filo (lungo il filo, inclinata di $\theta$). Scegliamo l’asse $x$ nel verso dell’accelerazione e l’asse $y$ verso l’alto. La seconda legge in componenti:

$\begin{cases} t\sin\theta = m a \\ t\cos\theta - m g = 0 \end{cases}$

Angolo. Dividendo membro a membro la prima equazione per la seconda si elimina $t$:

$\tan\theta = \frac{a}{g} = \frac{3}{9{,}81} = 0{,}306 \quad\Rightarrow\quad \theta = \arctan 0{,}306$

$\ev{\theta \approx 17^\circ}$

Modulo della tensione. Dalla seconda equazione $t\cos\theta = mg$ e dalla prima $t\sin\theta = ma$; elevando al quadrato e sommando ($\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$):

$t = m\sqrt{g^2 + a^2} = 2\sqrt{9{,}81^2 + 3^2} = 2\sqrt{105{,}4}$

$\ev{|\vv{t}| \approx 20{,}5\;\text{N}}$

Il filo regge più del semplice peso ($mg \approx 19{,}6\;\text{N}$): deve fornire anche la componente orizzontale che accelera la massa.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Tensione Competenze: Scomposizione vettoriale Oggetti: Pendolo semplice