Ascensore con bilancia e molla

Testo

In un ascensore in salita con accelerazione $a = 2{,}0\ \text{m/s}^2$, una massa $m = 3{,}0\ \text{kg}$ è appesa a una molla verticale di costante elastica $k = 200\ \text{N/m}$. (a) Quanto si allunga la molla? (b) Una bilancia posta sotto la massa a quanti kgf la sosterrebbe?

Soluzione

L’ascensore accelera verso l’alto con $a = 2{,}0\ \text{m/s}^2$. La massa appesa alla molla accelera insieme alla cabina. Sulla massa agiscono la forza elastica $\vv{T}$ (verso l’alto) e il peso $\vv{P} = m\vv{g}$ (verso il basso). Scegliamo l’asse verticale positivo verso l’alto.

Parte (a): allungamento della molla.

Applichiamo la seconda legge di Newton alla massa: $T - mg = ma$

La forza elastica deve quindi valere: $T = m\,(g + a) = 3{,}0 \cdot (9{,}81 + 2{,}0) = 3{,}0 \cdot 11{,}81 = 35{,}43\ \text{N}$

Poiché la molla obbedisce alla legge di Hooke, $T = k\,\Delta L$, ricaviamo l’allungamento: $\Delta L = \frac{T}{k} = \frac{m\,(g + a)}{k} = \frac{35{,}43}{200}$

$\ev{\Delta L \approx 0{,}177\ \text{m} = 17{,}7\ \text{cm}}$

Parte (b): lettura della bilancia.

Una bilancia posta sotto la massa dovrebbe sostenerla con la stessa forza $T$ trovata sopra. La lettura in chilogrammi-forza si ottiene dividendo la forza per $g$: $m_{\text{letta}} = \frac{T}{g} = \frac{m\,(g + a)}{g} = \frac{35{,}43}{9{,}81}$

$\ev{m_{\text{letta}} \approx 3{,}61\ \text{kgf}}$

Nell’ascensore che accelera verso l’alto la massa “pesa di più”: la molla si allunga più che a riposo (dove sarebbe $\Delta L_0 = mg/k \approx 14{,}7\ \text{cm}$) e la bilancia segna oltre i $3{,}0\ \text{kg}$ reali.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Forza elastica e legge di Hooke · Seconda legge di Newton · Forza normale Oggetti: Molla · Ascensore · Bilancia