Pendolo nel treno che frena

Testo

Un pendolo è appeso al soffitto di una carrozza ferroviaria. La carrozza decelera uniformemente. Indica in che verso si inclina il pendolo a regime e calcola l’angolo se la decelerazione vale $2{,}0\ \text{m/s}^2$.

Soluzione

Analizziamo il pendolo dal punto di vista di un osservatore fermo a terra (sistema inerziale). Il pendolo, agganciato alla carrozza, decelera insieme ad essa: la sua accelerazione è diretta in verso opposto al moto (verso l’indietro rispetto alla direzione di marcia).

Perché il pendolo abbia questa accelerazione, la risultante delle forze deve puntare all’indietro. Le forze applicate sono il peso $\vv{P}$ (verticale) e la tensione della fune $\vv{T}$ (lungo il filo). Affinché la loro somma sia orizzontale e diretta all’indietro, la fune deve inclinarsi in avanti, cioè nel verso del moto: la massa “prosegue” in avanti per inerzia mentre la carrozza rallenta.

Scomponiamo la tensione nelle direzioni verticale e orizzontale, con $\theta$ l’angolo rispetto alla verticale.

Direzione verticale (nessuna accelerazione): $T\cos\theta = mg$

Direzione orizzontale (la componente orizzontale della tensione fornisce l’accelerazione, di modulo $a$): $T\sin\theta = ma$

Dividendo membro a membro le due equazioni, la tensione e la massa si semplificano: $\tan\theta = \frac{a}{g}$

Sostituiamo $a = 2{,}0\ \text{m/s}^2$ e $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$: $\tan\theta = \frac{2{,}0}{9{,}81} = 0{,}2039 \quad\Rightarrow\quad \theta = \arctan(0{,}2039)$

$\ev{\theta \approx 11{,}5^\circ \quad \text{inclinato in avanti, nel verso del moto}}$

È lo stesso effetto che si prova in autobus quando frena: il corpo tende a proiettarsi in avanti, esattamente come fa la massa del pendolo.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Tensione Competenze: Scomposizione vettoriale