Macchina di Atwood disturbata

Testo

Una macchina di Atwood ha $m_1 = 3\ \text{kg}$ e $m_2 = 5\ \text{kg}$, carrucola ideale e fune ideale. A un certo istante una formica di massa $\delta m = 0{,}01\ \text{kg}$ striscia da $m_1$ a $m_2$. Calcola la variazione percentuale dell’accelerazione del sistema durante il passaggio (assumi che la formica resti su $m_2$).

Soluzione

Per una macchina di Atwood ideale, applicando la seconda legge di Newton a entrambe le masse e ricordando che la tensione della fune è uguale ai due estremi, l’accelerazione del sistema è: $a = \frac{(m_2 - m_1)\,g}{m_1 + m_2}$

La massa totale che la carrucola sostiene ($m_1 + m_2 + \delta m = 8{,}01\ \text{kg}$) resta invariata durante il passaggio della formica: ciò che cambia è su quale lato si trova la piccola massa $\delta m$.

Prima del passaggio (formica su $m_1$): il lato “leggero” pesa $m_1 + \delta m = 3{,}01\ \text{kg}$, il lato “pesante” $m_2 = 5\ \text{kg}$. La differenza è $5 - 3{,}01 = 1{,}99\ \text{kg}$: $a_i = \frac{(5 - 3{,}01)\,g}{8{,}01} = \frac{1{,}99 \cdot 9{,}81}{8{,}01} \approx 2{,}437\ \text{m/s}^2$

Dopo il passaggio (formica su $m_2$): il lato leggero pesa $m_1 = 3\ \text{kg}$, il lato pesante $m_2 + \delta m = 5{,}01\ \text{kg}$. La differenza sale a $5{,}01 - 3 = 2{,}01\ \text{kg}$: $a_f = \frac{(5{,}01 - 3)\,g}{8{,}01} = \frac{2{,}01 \cdot 9{,}81}{8{,}01} \approx 2{,}462\ \text{m/s}^2$

Variazione percentuale. La differenza di accelerazione è: $\Delta a = a_f - a_i = 2{,}462 - 2{,}437 = 0{,}0245\ \text{m/s}^2$

Rapportata al valore iniziale: $\frac{\Delta a}{a_i} = \frac{0{,}0245}{2{,}437} \approx 0{,}010$

$\ev{\frac{\Delta a}{a} \approx 1\%}$

L’effetto è sorprendentemente grande: spostare appena $10\ \text{g}$ tra i due lati fa variare l’accelerazione dell’$1\%$. Il motivo è che ciò che conta è la differenza $m_2 - m_1 = 2\ \text{kg}$, piccola rispetto alle masse in gioco; una minuscola formica che cambia lato modifica questa differenza di $2\,\delta m = 0{,}02\ \text{kg}$, cioè dell’$1\%$ circa. Il sistema è così sensibile perché lavora vicino all’equilibrio tra le due masse.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Macchina di Atwood