Esercizio svolto — blocco su piano inclinato con 3 forze

Testo

Un blocco di $5\;\text{kg}$ su un piano inclinato a $35^\circ$ è spinto da una forza $\vv{P}_{\text{app}} = 45\;\text{N}$ a $25^\circ$ dalla superficie. Trovare l’accelerazione e la reazione vincolare.

Soluzione

Cerchiando il blocco nel diagramma di interazione si contano 3 biscioline: il peso (Terra), la reazione vincolare $\vv{R}$ (Piano) e la forza applicata $\vv{F}$ (Mano). Conviene scegliere assi ruotati lungo il piano: $x$ verso l’alto lungo la superficie, $y$ perpendicolare e uscente. La reazione vincolare ha così una sola componente ($y$) e l’accelerazione una sola ($x$, lungo il piano). In questi assi le tre forze e l’accelerazione hanno componenti

$\vv{P}=\begin{pmatrix} -mg\sin 35^\circ \\ -mg\cos 35^\circ \end{pmatrix},\quad \vv{F}=\begin{pmatrix} F\cos 25^\circ \\ F\sin 25^\circ \end{pmatrix},\quad \vv{R}=\begin{pmatrix} 0 \\ R \end{pmatrix},\quad \vv{a}=\begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix}$

La seconda legge $\vv{P} + \vv{F} + \vv{R} = m\vv{a}$ dà due equazioni scalari, una lungo il piano e una perpendicolare ad esso:

$F\cos 25^\circ - mg\sin 35^\circ = m\,a \qquad\qquad R + F\sin 25^\circ - mg\cos 35^\circ = 0$

Dall’equazione perpendicolare si isola la reazione vincolare:

$R = mg\cos 35^\circ - F\sin 25^\circ = 40{,}1 - 19{,}0 = 21{,}1\;\text{N}$

e da quella lungo il piano si ricava l’accelerazione (positiva: il blocco accelera in salita):

$a = \frac{F\cos 25^\circ - mg\sin 35^\circ}{m} = \frac{40{,}8 - 28{,}1}{5{,}0} = 2{,}5\;\text{m/s}^2$

$\ev{a \approx 2{,}5\;\text{m/s}^2}$

$\ev{R \approx 21\;\text{N}}$

Approfondimento — ruotare gli assi

Ogni volta che è presente un piano inclinato, conviene ruotare gli assi lungo il piano: la reazione vincolare ha una sola componente (lungo $y$), l’accelerazione una sola (lungo $x$), e i conti si semplificano enormemente rispetto agli assi orizzontale/verticale.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Seconda legge di Newton · Forza normale Competenze: Scomposizione sul piano inclinato · Scelta degli assi Oggetti: Piano inclinato · Blocco