Problema — Molla con due masse appese

Testo

Una molla ($K = 400\;\text{N/m}$, $\ell_0 = 0{,}3\;\text{m}$) verticale ha la massa A ($3\;\text{kg}$) appesa al suo estremo superiore con un sostegno fisso, e la massa B ($5\;\text{kg}$) appesa all’estremo inferiore. All’equilibrio, calcola l’allungamento della molla e la forza che il sostegno esercita su A.

Soluzione

Allungamento della molla. La molla regge la sola massa B, appesa al suo estremo inferiore. All’equilibrio la forza elastica della molla deve bilanciare il peso di B, quindi $F_s = P_B = m_B g$. Per la legge di Hooke $F_s = K\,\Delta\ell$, da cui:

$\Delta\ell = \frac{m_B\, g}{K} = \frac{5 \cdot 9{,}81}{400} = \frac{49{,}05}{400}$

$\ev{\Delta\ell \approx 0{,}123\;\text{m}}$

Forza del sostegno su A. Isoliamo la massa A. Su di essa agiscono tre forze verticali: il proprio peso $\vv{P}_A = m_A g$ (verso il basso), la forza della molla (la molla è tesa e tira A verso il basso, verso B, con modulo $F_s = K\,\Delta\ell = 49{,}05\;\text{N}$) e la forza $\vv{F}_{\text{sost}}$ del sostegno (verso l’alto). All’equilibrio:

$F_{\text{sost}} = m_A g + F_s = 3 \cdot 9{,}81 + 49{,}05 = 29{,}4 + 49{,}05$

$\ev{F_{\text{sost}} \approx 78{,}5\;\text{N}}$

Il sostegno regge l’intero sistema: infatti $F_{\text{sost}} = m_A g + m_B g = (m_A + m_B)\,g = 8 \cdot 9{,}81 \approx 78{,}5\;\text{N}$, cioè il peso complessivo di A e B, come deve essere per l’equilibrio dell’intero sistema appeso.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica Concetti: Forza elastica e legge di Hooke · Tensione · Forza peso Oggetti: Molla