Problema — Velocità minima nel giro della morte

Testo

Dimostra che la velocità minima che una pallina (puntiforme) deve avere nel punto più basso di un giro della morte circolare di raggio $R$ per completare il giro in assenza di attrito vale $v = \sqrt{5gR}$. Parti dalla condizione nel punto più alto.

Soluzione

Condizione nel punto più alto. Nel punto più alto dell’anello la pallina si stacca se la sola gravità non basta a fornire l’accelerazione centripeta. La condizione limite (contatto sul punto di annullarsi, forza normale $N = 0$) è che il peso faccia tutta la forza centripeta: $m\,g = \frac{m\,v_\text{alto}^2}{R} \quad\Rightarrow\quad v_\text{alto}^2 = g\,R$ Questa è la minima velocità possibile in cima: sotto di essa la pallina cade staccandosi dalla pista.

Conservazione dell’energia tra il punto più basso (quota $0$) e il punto più alto (quota $2R$), assenza di attrito: $\frac{1}{2}\,m\,v_\text{basso}^2 = \frac{1}{2}\,m\,v_\text{alto}^2 + m\,g\,(2R)$ Semplifico $m$ e sostituisco $v_\text{alto}^2 = gR$: $v_\text{basso}^2 = v_\text{alto}^2 + 4gR = gR + 4gR = 5gR$ $\ev{v = \sqrt{5gR}}$

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Giro della morte