Esercizio svolto — blocco su piano inclinato con molla e attrito

Testo

Un blocco di $4\;\text{kg}$ parte da fermo in cima a un piano inclinato a $30^\circ$ lungo $10\;\text{m}$. In fondo c’è una molla ($K = 400\;\text{N/m}$, $\ell_0 = 3\;\text{m}$). L’attrito vale $F_a = 10\;\text{N}$. Il blocco scivola in basso e comprime la molla. Trovare la compressione massima.

Soluzione

Passo 1 — Diagramma di interazione. Il blocco interagisce con la Terra (peso), con la molla (forza elastica) e con il piano (reazione vincolare + attrito). L’attrito non ammette energia potenziale: nel bilancio compare come una freccia verso $E_{\text{term}}$.

Passo 2 — Tabella energetica. Riferimento gravitazionale alla base del piano. Sia $l_B$ la lunghezza della molla nello stato B (compressa da $\ell_0 = 3\;\text{m}$) e $\Delta s_B$ il tratto percorso lungo il piano.

Altezza di partenza: $h_A = 10\cdot\sin 30^\circ = 5\;\text{m}$, quindi $E_{\text{pot,g}}^A = 4\cdot 9{,}81\cdot 5 = 196{,}2\;\text{J}$.

Stato	$E_{\text{pot,g}}$	$E_{\text{pot,m}}$	$E_{\text{cin}}$	$E_{\text{term}}$	$E_{\text{tot}}$
A	$196{,}2$	$0$	$0$	$0$	$196{,}2$
B	$4\cdot 9{,}81\cdot h_B$	$200\,(l_B-3)^2$	$0$	$10\cdot\Delta s_B$	$196{,}2$

Passo 3 — Condizioni geometriche. Il blocco parte in cima e comprime la molla, quindi

$\Delta s_B + l_B = 10\;\text{m}, \qquad h_B = l_B\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}\,l_B$

Passo 4 — Equazione di conservazione. $E_{\text{tot}}^B = 196{,}2$:

$4\cdot 9{,}81\cdot h_B + 200\,(l_B-3)^2 + 10\,(10-l_B) = 196{,}2$

Sostituendo $h_B = l_B/2$:

$19{,}62\,l_B + 200\,(l_B-3)^2 + 100 - 10\,l_B = 196{,}2$

$200\,l_B^2 - 1190{,}38\,l_B + 1703{,}8 = 0$

Risoluzione.

$l_B = \frac{1190{,}38 \pm \sqrt{1190{,}38^2 - 4\cdot 200\cdot 1703{,}8}}{2\cdot 200} = \frac{1190{,}38 \pm \sqrt{53964{,}5}}{400} = \frac{1190{,}38 \pm 232{,}3}{400}$

Le due radici sono $l_B = 3{,}56\;\text{m}$ e $l_B = 2{,}40\;\text{m}$. Poiché la molla è compressa, deve valere $l_B < \ell_0 = 3\;\text{m}$: si sceglie $l_B \approx 2{,}40\;\text{m}$.

La compressione massima è quindi

$\ev{\ell_0 - l_B = 3 - 2{,}40 \approx 0{,}60\;\text{m}}$

Verifica del bilancio ($l_B = 2{,}40$): $E_{\text{pot,g}} = 4\cdot 9{,}81\cdot 1{,}20 = 47{,}0$; $E_{\text{pot,m}} = 200\cdot 0{,}60^2 = 72{,}0$; $E_{\text{term}} = 10\cdot 7{,}60 = 76{,}0$. Somma $\approx 195$ J $\approx E_{\text{tot}}$. ✓

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Energia potenziale gravitazionale · Energia potenziale elastica · Energia termica da attrito · Attrito dinamico · Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Uso della tabella energetica · Scomposizione sul piano inclinato Metodi: Tabella energetica a stati Oggetti: Piano inclinato · Molla · Blocco