Problema — Discesa della pallina su tre piste

Testo

Discesa della pallina. Una pallina è lasciata cadere lungo tre piste diverse tutte partenti dalla stessa altezza $h$ e terminanti allo stesso livello basso: (A) un piano inclinato liscio; (B) una pista curva a forma di “montagna russa”; (C) un salto libero in caduta verticale. In quale caso la pallina arriva a terra con velocità maggiore? Spiega sulla base della sola conservazione dell’energia meccanica.

Soluzione

In tutti e tre i casi non c’è attrito, quindi l’energia meccanica si conserva. La pallina parte da ferma dalla stessa quota $h$ e arriva alla stessa quota bassa, perciò la variazione di energia potenziale è identica: $\Delta E_p = m\,g\,h \quad\text{(uguale per A, B, C)}$ Questa energia si converte interamente in energia cinetica alla base: $m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2gh}$ Il risultato non dipende dalla forma della pista né dal percorso seguito: dipende solo dal dislivello $h$. Quindi la pallina arriva a terra con la stessa velocità in tutti e tre i casi (A, B e C).

Attenzione: è uguale il modulo della velocità, non il tempo di percorrenza né la direzione di arrivo. La caduta verticale (C) è la più rapida, ma la velocità finale in modulo è identica. $\ev{v_A = v_B = v_C = \sqrt{2gh}}$

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Piano inclinato