Problema — Loop della morte

Testo

Loop della morte. Una pallina parte da ferma in cima a una pista liscia di altezza $h$ e percorre un anello verticale di raggio $R$, come in figura. Ricava la velocità nel punto più alto dell’anello e la condizione minima su $h$ affinché la pallina non si stacchi dalla pista.

Soluzione

Velocità nel punto più alto. La pista è liscia: l’energia meccanica si conserva. La pallina parte da ferma dalla quota $h$; il punto più alto dell’anello è alla quota $2R$. Conservazione dell’energia tra partenza e cima dell’anello: $m\,g\,h = \frac{1}{2}\,m\,v^2 + m\,g\,(2R)$ Semplifico $m$ e ricavo $v$: $v^2 = 2g\,(h - 2R) \quad\Rightarrow\quad \ev{v = \sqrt{2g(h-2R)}}$

Condizione minima su $h$. Nel punto più alto la pallina resta a contatto con la pista finché la forza centripeta richiesta è almeno pari al peso. Il caso limite (normale $N=0$) è $m\,g = \frac{m\,v^2}{R} \quad\Rightarrow\quad v^2 \geq g\,R$ Sostituisco $v^2 = 2g(h-2R)$: $2g\,(h - 2R) \geq g\,R \quad\Rightarrow\quad 2h - 4R \geq R \quad\Rightarrow\quad h \geq \frac{5R}{2}$ $\ev{h_\text{min} = \frac{5R}{2}}$

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Giro della morte