Problema — La collana di Stevin

Testo

La collana di Stevin. Simon Stevin (1548–1620), un secolo prima di Newton, volle dimostrare che il moto perpetuo è impossibile e in tal modo trovò un metodo per analizzare i piani inclinati. Immaginò una catena di palline identiche, drappeggiata su un prisma formato da due piani inclinati di pendenza diversa, e lasciò che la parte inferiore pendesse simmetricamente come una ghirlanda. Domanda di Stevin: la catena si mette in moto da sola? E se no, qual è il rapporto tra i pesi sui due piani? Argomenta con il principio di conservazione dell’energia (cosa accadrebbe all’energia totale se la catena ruotasse di un anellino?) e ricava da qui la legge del piano inclinato. Spunto da (Povey 2015, §7.1).

Soluzione

L’argomento di Stevin (per assurdo). Supponiamo che la catena si metta in moto da sola, scivolando di un anellino attorno al prisma. Dopo lo spostamento la configurazione della catena è identica a quella di partenza: ogni pallina ha semplicemente preso il posto della successiva. Quindi l’altezza del baricentro non è cambiata e l’energia potenziale totale è la stessa di prima.

Se però la catena continuasse a girare, avremmo un movimento perpetuo che non consuma né restituisce energia: la catena acquisterebbe energia cinetica dal nulla, violando la conservazione dell’energia. È impossibile. Conclusione: la catena non si mette in moto, resta in equilibrio.

La ghirlanda inferiore. La parte che pende sotto il prisma è simmetrica: pesi uguali a sinistra e a destra si bilanciano e possono essere rimossi senza alterare l’equilibrio. Restano solo le palline appoggiate sui due piani inclinati, e queste da sole devono essere in equilibrio.

Legge del piano inclinato. Su un piano di lunghezza $\ell$ e inclinazione $\theta$ il numero di palline è proporzionale alla lunghezza, $n \propto \ell$. La componente del peso di ciascuna pallina lungo il piano è $m\,g\,\sin\theta$. La spinta totale lungo il piano vale quindi $F_\parallel \propto n\cdot m\,g\,\sin\theta \propto \ell\,\sin\theta$ Poiché i due piani condividono la stessa altezza $H$ del prisma, per ciascun lato $\ell\,\sin\theta = H$ (uguale per entrambi). Dunque le due spinte lungo i piani sono uguali e si bilanciano: equilibrio confermato.

Ne segue la legge del piano inclinato: la forza che tiene un peso lungo un piano liscio è proporzionale a $\sin\theta$, e il numero di palline (cioè i pesi appoggiati) sta nel rapporto delle lunghezze dei piani: $\ev{\dfrac{W_1}{W_2} = \dfrac{\ell_1}{\ell_2} = \dfrac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}}$

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica Oggetti: Piano inclinato