Esercizio svolto — altezza minima per il loop

Testo

Un oggetto parte da fermo a un’altezza $h$ su un piano inclinato e deve completare un loop verticale di raggio $r$. Trovare $h$ minimo (a) senza attrito e (b) con attrito.

Soluzione

Condizione alla sommità del loop. Nel punto più alto del giro (altezza $2r$) la velocità minima perché il corpo resti in contatto con la guida è $v_{\min} = \sqrt{gr}$ (il peso fornisce tutta la forza centripeta: $mg = mv^2/r$). Questa è la condizione critica che fissa l’altezza minima di partenza.

(a) Senza attrito. Definiamo:

• Stato A (partenza): $v = 0$, quota $h$.
• Stato B (sommità del loop): $v = \sqrt{gr}$, quota $2r$.

Conservazione dell’energia meccanica $E_{\text{tot}}^A = E_{\text{tot}}^B$:

$mgh = \tfrac{1}{2}m\,v_{\min}^2 + mg(2r) = \tfrac{1}{2}m(gr) + mg(2r)$

Dividendo per $mg$:

$h = \tfrac{1}{2}r + 2r \quad\Rightarrow\quad \ev{h_{\min} = \tfrac{5}{2}\,r}$

(b) Con attrito. L’attrito $F_a$ agisce lungo la rampa di discesa, di lunghezza $\ell = h/\sin\theta$ (con $\theta$ inclinazione della rampa). L’energia dissipata è $E_{\text{term}} = F_a\,\ell$. Il bilancio energetico diventa:

$mgh = \tfrac{1}{2}m(gr) + mg(2r) + F_a\cdot\frac{h}{\sin\theta}$

Raccogliendo i termini in $h$:

$mgh - F_a\,\frac{h}{\sin\theta} = \tfrac{5}{2}mgr \quad\Rightarrow\quad h\left(mg - \frac{F_a}{\sin\theta}\right) = \tfrac{5}{2}mgr$

$\ev{h_{\min} = \frac{\tfrac{5}{2}\,mgr}{mg - \dfrac{F_a}{\sin\theta}}}$

L’attrito aumenta l’altezza necessaria: serve più energia potenziale iniziale per compensare quella dissipata in calore lungo la discesa. Nel limite $F_a \to 0$ si ritrova $h_{\min} = \tfrac{5}{2}r$.

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia cinetica · Energia potenziale gravitazionale · Energia termica da attrito · Attrito dinamico Competenze: Conservazione dell’energia · Impostazione simbolica Oggetti: Giro della morte · Piano inclinato