Problema — Velocità di un pendolo

Pendolo da un'altezza. Un pendolo di lunghezza $L = 1\;\mathrm{m}$ è tirato a $60^\circ$ rispetto alla verticale e lasciato libero. Calcola la velocità al punto più basso. La massa influisce?

Soluzione

Dati: $L = 1\;\mathrm{m}$, angolo iniziale $\theta = 60^\circ$ dalla verticale, partenza da fermo.

Dislivello. Nella posizione iniziale la massa è più alta del punto più basso di

$h = L(1 - \cos\theta) = 1\cdot(1 - \cos 60^\circ) = 1\cdot(1 - 0{,}5) = 0{,}5\;\mathrm{m}$

Conservazione dell’energia meccanica (filo ideale, nessun attrito). Tutta l’energia potenziale del punto di partenza diventa cinetica in fondo:

$mgh = \tfrac{1}{2}mv^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2\cdot 9{,}81\cdot 0{,}5} = \sqrt{9{,}81} \approx 3{,}13\;\mathrm{m/s}$

$\ev{v \approx 3{,}13\;\mathrm{m/s}}$

La massa influisce?

$\ev{\text{No: } m \text{ si semplifica}}$

Nell’equazione $mgh = \tfrac12 mv^2$ la massa compare a entrambi i membri e si elide: $v = \sqrt{2gh}$ dipende solo da $g$ e dal dislivello. È lo stesso principio della caduta libera: tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione, indipendentemente dalla massa.

Collegamenti

Argomenti: Lavoro ed energia Concetti: Conservazione dell’energia meccanica · Energia potenziale gravitazionale Competenze: Conservazione dell’energia Oggetti: Pendolo semplice